※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之铭言： : 想问一个关於反函数的问题 : 我知道反函数的定义 也就是原本函数的定义域为另一函数的值域 原本函数的值域变为 : 新函数的定义域 则两函数互为反函数 这样描述还会包括进很多不是互相为反函数的组合 f : R -> R f(x) = x+1 g : R -> R g(x) = x+2 这样定的话 f 的值域跟定义域都是 R, g 也是, 他们不互为反函数 重要的是反函数要把原本函数送过去的东西再送回来, 让他们两个合成後是 identity : 请问…假如一函数f(x)=y=x-1 : 则f^-1(y)=x=y+1=g(y)以及f^-1(x)=y=x+1=g(x) : 这两个到底哪个才是f(x)的反函数 印象中会因习惯问题讲自变数以x表示 然後f^-1(y) : =x=y+1=g(y)改为f^-1(x)=y=x+1=g(x)然後才会跟f(x)对称 : 但第一张图突然又说g(y)是f(x)的反函数 那g(x)又是什麽… 1. 函数里面的变数是 "dummy variable", 不论我们用什麽变数, 他们表示的都是 同一个函数. 令 f(x) = x^2 g(t) = t^2 h(u) = u^2 r(a) = a^2 不仅 f, g, h, r 相等, 而且 f(x) = x^2 跟 f(t) = t^2 跟 f(z) = z^2 通通一样 函数就是把一个东西映射到另一个东西, 而 f(x) = x+1 这种记号的意思就是, 对於所有在定义域中的物件, v, 我们把它关联到对应域中的物件 v+1 其中我们应该要知道在对应域中 "v+1" 要怎麽解读 2. 文章中符号有混淆的地方 f(x) = x-1 f(t) = t-1 f(z) = z-1 这里的 x, t, z 是 dummy variable, 用来代表这个函数要把什麽数字 送到什麽数字, 用什麽符号都一样 "令变数 y = f(x), f(x) = x-1" 这句话想表达的是, 在以下环境中, 我们希望 y 是 x 的函数. 虽然我们只写一个字母 y, 但是心中要把他想像成 f(x), 想像成 x-1 之类的算式 而当我们写 g(y) = y+1, 这里的 y 跟上面是毫无关联的, 他只是在表示 g 这个函数是把一个数字 v 送到 v+1, 这个 y 是用来描述 g 这个函数的 dummy variable, 不是 y = f(x) 的 y 3. 若 y = f(x) = x-1 则 f^{-1}(y) = y+1 到此为止, 没有 f^{-1}(x) = y = x-1 这个等式 我们知道 f 会把 x 送到 x-1, 也就是把 5 送到 4, 把 123 送到 122 而 f 的反函数会把一个数 y 送到 y+1, 也就是 7 送到 8, 把 255 送到 256 f^{-1}(y) = y+1, 我们可以任意改变变数, 不影响 "把什麽数字送到什麽数字": f^{-1}(w) = w+1 f^{-1}(t) = t+1 他们都是一样的. 因此 f^{-1}(x) = x+1 才会代表同一个函数 假如我们认定了符号 y := x-1, 那麽显然 f^{-1}(x) = x+1 不等於 y : 第二张图说f^-1(y)为反函数 让我觉得很矛盾 f^-1(y)不是只是f(x)移项的结果吗 然 : 後要把y换成x 也就是f^-1(x) 这个东西才是反函数吧… : https://i.imgur.com/ueAMwrL.jpg : https://i.imgur.com/fD8DKfi.jpg 符号上习惯让 "f^{-1}(y)" 指称 f(x) 的反函数罢了 函数重要的是输入与输出之间的关系, 中间用什麽方式来描述都不影响的 也有的介绍到集合论的书会用数对的集合来建构函数: 把 f : N -> N f(x) = x+7 这个函数, 用集合 {(1,8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12), ...} 来表示 这样我们知道输入是 2 时, 也能输出要是 9 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 165.124.144.106 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/trans_math/M.1513445249.A.3B1.html 要先注意, 把函数连结到平面也是我们自己订的. 例如我们说假如对一个函数 f(t) = ..., 在 t = x 的时候值是 y (= f(x)), 那我们就把点 (x,y) 画在平面上. 那这样变换 dummy variable 对作图有没有影响? 并没有, 因为还是同一个函数, 但是我们可以改变把它画在平面上的画法. 假如每个函数我们固定以输入为 x 座标, 输出为 y 座标, 那毫无疑问的一个函数 跟他的反函数的图形会沿着 y = x 这条直线对称, 这是因为反函数定义就是送过去 再送回来不会变: 两个函数 f, g 互为反函数(加一些范围适当什麽的条件), 那 g(f(u)) = u 对所有适当的 u f(g(v)) = v 对所有适当的 v 这两个函数画成图会怎麽样呢? 假设 (x,y) 在 f 的图形上, 也就是说 y = f(x), 那我们知道 x = g(y). 因此 (y,x) 在 g 的图形上. 反过来说也 成立, 因此他们图形沿 y = x 对称. 但我们可以用不同的方法来画图. 对於以下的式子 y = f(x) x = f^{-1}(y) 假如我们说: 让我们画图时, 这式子里的 x 就代表 x 座标, y 就代表 y 座标, 那当然也可以(向你举的那个 x = f^{-1}(y) = y-1 的例子). 而这个时候他们 画出来的图形就是同一条了: (x,y) 在 f 的图形上 <=> y = f(x) <=> x = f^{-1}(y) <=> (x,y) 在 f^{-1} 描述的曲线上 那这个时候 dummy variable 可不可以变? 可不可以写 z = f^{-1}(x), w = f^{-1}(t)? 变 dummy variable 的话函数本身当然不会变, 但我们前面说的 x 代表 x 座标 y 代表 y 座标这个连结就兜不起来了. 其实这种用法在微积分里也满常见的. 例如我们描述一条 x-y 平面上的直线 L 也可以描述说 L 就是满足 x - y + 1 = 0 的点的集合, 要把它看成函数的时候 可以把 x 看成 y 的函数也可以把 y 看成 x 的函数. 不论哪种看法我们想描述 的是同一条线. ※ 编辑: suhorng (165.124.144.106), 12/18/2017 08:56:33