作者Eliphalet (蘇格蘭狗餅)
看板trans_math
標題Re: [極限]
時間Sat Oct 3 13:25:56 2015
※ 引述《santaho (hohoho)》之銘言：
: 四題極限證明，跪求詳解，感謝各位大大
: 因為對題目毫無頭緒，不知道怎麼詳述，對不起
: 但我目前是學到 δε的證明，可是只會簡單等式的
這看起來不像轉學考微積分的題目...
我只給個大概方向，詳解請自己補
: http://i.imgur.com/1fAKQan.jpg
: http://i.imgur.com/VnBkU7y.jpg
: http://i.imgur.com/TygZOrK.jpg
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1.
http://i.imgur.com/1fAKQan.jpg
(a). f(x) - 1
對 x != 0， f(x) - 1 = ---------- * x
x
因此 lim f(x) 必須要存在，且是 1
x->0
(b). 把該式拆開成
f(x) - 1
f(x) * ( ----------- + 1 )
x
可看出其極限為 3
2.
http://i.imgur.com/VnBkU7y.jpg
(1). 這應該有教吧？ 可找一組數列 {a_n}，{b_n} 趨近到 0
使得 sin(a_n) = 0 ， sin(b_n) = 1
故極限不存在
如果你要弄 ε-δ 的證明也行
(2). 高中教過的作法，用 sine 的二倍角公式
2^n sin(x/2^n) * p_n(x) = sin(x)
稍為計算一下可得
lim p_n(x) = sin(x)/x
n->\infty
3.
http://i.imgur.com/TygZOrK.jpg
(a). 根據定義，存在 δ_0 > 0 使得當 0 < |x-2| < δ_0 ，
|f(x)/(x-2) - 1 | < 1
取 δ = min{δ_0,1}，此時 0 < δ < 1 且當
0 < |x-2| < δ 時 ， |f(x)/(x-2)| < 2 ， 亦即 |f(x)| < 2|x-2|
(b). 可以從 (a) 的結果得到
(c). 一樣，可以把該式拆成
f(x)
-------- * ( sin(pi*x)/x-2 )^(-1)
x-2
故該極限 = 1/pi
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※ 編輯: Eliphalet (114.46.226.151), 10/03/2015 13:42:23