作者Eliphalet (苏格兰狗饼)
看板trans_math
标题Re: [极限]
时间Sat Oct 3 13:25:56 2015
※ 引述《santaho (hohoho)》之铭言：
: 四题极限证明，跪求详解，感谢各位大大
: 因为对题目毫无头绪，不知道怎麽详述，对不起
: 但我目前是学到 δε的证明，可是只会简单等式的
这看起来不像转学考微积分的题目...
我只给个大概方向，详解请自己补
: http://i.imgur.com/1fAKQan.jpg
: http://i.imgur.com/VnBkU7y.jpg
: http://i.imgur.com/TygZOrK.jpg
: -----
: Sent from JPTT on my HTC_D820u.
1.
http://i.imgur.com/1fAKQan.jpg
(a). f(x) - 1
对 x != 0， f(x) - 1 = ---------- * x
x
因此 lim f(x) 必须要存在，且是 1
x->0
(b). 把该式拆开成
f(x) - 1
f(x) * ( ----------- + 1 )
x
可看出其极限为 3
2.
http://i.imgur.com/VnBkU7y.jpg
(1). 这应该有教吧？ 可找一组数列 {a_n}，{b_n} 趋近到 0
使得 sin(a_n) = 0 ， sin(b_n) = 1
故极限不存在
如果你要弄 ε-δ 的证明也行
(2). 高中教过的作法，用 sine 的二倍角公式
2^n sin(x/2^n) * p_n(x) = sin(x)
稍为计算一下可得
lim p_n(x) = sin(x)/x
n->\infty
3.
http://i.imgur.com/TygZOrK.jpg
(a). 根据定义，存在 δ_0 > 0 使得当 0 < |x-2| < δ_0 ，
|f(x)/(x-2) - 1 | < 1
取 δ = min{δ_0,1}，此时 0 < δ < 1 且当
0 < |x-2| < δ 时 ， |f(x)/(x-2)| < 2 ， 亦即 |f(x)| < 2|x-2|
(b). 可以从 (a) 的结果得到
(c). 一样，可以把该式拆成
f(x)
-------- * ( sin(pi*x)/x-2 )^(-1)
x-2
故该极限 = 1/pi
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※ 编辑: Eliphalet (114.46.226.151), 10/03/2015 13:42:23