作者hengzhi (hengzhi)
看板trans_math
標題[微分] 101中正 函數恰有一解
時間Sat Jun 13 02:00:01 2015
題目:
For what value of C does the equation
ln x = Cx^3 have exactly one solution?
解答:
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先畫出 ln x 與 Cx^3 的圖形
然後發現
當 C < 0 一定跟 ln x 相交
討論 C > 0
令 F(x) = Cx^3-lnx
F'(x) = 3Cx^2 - 1/x = 0
>> C = 1 / 3x^3
代回 f(x) 解得 C = 1 / 3e
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想問版上大大 一看到題目
要怎麼直觀的想到
C > 0
滿足 F'(x) = 0 的條件
將會有唯一解，
另外為什麼C < 0 ，卻又要用圖形判斷?
而不是 從 F'(x) = 0 看出
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1F：→ yhliu : C = 0 或 C > 0 結果是很顯然的. 以 C > 0 為例, 06/13 03:15
2F：→ yhliu : 左邊 ln(x) 由 x→0+ 時的 -∞ 增至 x→+∞ 時的+∞ 06/13 03:16
3F：→ yhliu : 而右邊由 x=0 時的 0 降至 x→+∞ 時的 +∞. 因為左 06/13 03:18
4F：→ yhliu : 右兩邊都是連續函數, 因此必有交點; 又因嚴格單調性 06/13 03:18
5F：→ yhliu : 夜點唯一. 06/13 03:19
6F：→ yhliu : 上面 "C > 0" 是 "C < 0" 之誤. 06/13 03:20
7F：→ yhliu : 當 C > 0 時, 左右都是增函數, 但, 起點不同, 增速 06/13 03:21
8F：→ yhliu : 也不同, 需要比較細緻的觀察. 要找 F(x) = 0 的解, 06/13 03:22
9F：→ yhliu : 一般它和 F'(x) = 0 的解是兩回事. 不過, 此例 06/13 03:23
10F：→ yhliu : F(x) = Cx^3 -ln(x), 當 x→0+ 時 F(x)→+∞, 而 06/13 03:24
11F：→ yhliu : x→+∞ 時 F(x)→+∞. 因此, 若 F(x) = 0 有解而且 06/13 03:25
12F：→ yhliu : 是唯一解, 它必是 F(x) 的最低點, 因而 F'(x) = 0. 06/13 03:26
13F：→ yhliu : 所以才會找 F'(x) = 0 的解. 但要證明這是唯一解, 06/13 03:27
14F：→ yhliu : 除了它同時要滿足 F(x) = 0 (這才是原目標), 也要它 06/13 03:28
15F：→ yhliu : 是唯一的. 06/13 03:28
16F：→ yhliu : 當 C < 0 或 C = 0 時, 因 F(x) 是嚴格單調的, 不可 06/13 03:29
17F：→ yhliu : 能找到 F'(x) = 0 的解. 不過, 倒是可由 F'(x) 恆負 06/13 03:30
18F：→ yhliu : 確立其嚴格單調性, 而得 "至多一解" 的結論. 06/13 03:31
19F：→ yhliu : 再修正: 除第1列 C>0 修正為 C<0 以外, 第3列修正如 06/13 03:34
20F：→ yhliu : 次: 而右邊由 x=0 時的 0 降至 x→+∞ 時的 -∞. 06/13 03:34
21F：→ hengzhi : 太感謝你了哈哈 我了解了！ 原來關鍵在 F(x) 是最 06/13 11:17
22F：→ hengzhi : ！ 06/13 11:17