作者hengzhi (hengzhi)
看板trans_math
标题[微分] 101中正 函数恰有一解
时间Sat Jun 13 02:00:01 2015
题目:
For what value of C does the equation
ln x = Cx^3 have exactly one solution?
解答:
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先画出 ln x 与 Cx^3 的图形
然後发现
当 C < 0 一定跟 ln x 相交
讨论 C > 0
令 F(x) = Cx^3-lnx
F'(x) = 3Cx^2 - 1/x = 0
>> C = 1 / 3x^3
代回 f(x) 解得 C = 1 / 3e
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想问版上大大 一看到题目
要怎麽直观的想到
C > 0
满足 F'(x) = 0 的条件
将会有唯一解，
另外为什麽C < 0 ，却又要用图形判断?
而不是 从 F'(x) = 0 看出
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1F：→ yhliu : C = 0 或 C > 0 结果是很显然的. 以 C > 0 为例, 06/13 03:15
2F：→ yhliu : 左边 ln(x) 由 x→0+ 时的 -∞ 增至 x→+∞ 时的+∞ 06/13 03:16
3F：→ yhliu : 而右边由 x=0 时的 0 降至 x→+∞ 时的 +∞. 因为左 06/13 03:18
4F：→ yhliu : 右两边都是连续函数, 因此必有交点; 又因严格单调性 06/13 03:18
5F：→ yhliu : 夜点唯一. 06/13 03:19
6F：→ yhliu : 上面 "C > 0" 是 "C < 0" 之误. 06/13 03:20
7F：→ yhliu : 当 C > 0 时, 左右都是增函数, 但, 起点不同, 增速 06/13 03:21
8F：→ yhliu : 也不同, 需要比较细致的观察. 要找 F(x) = 0 的解, 06/13 03:22
9F：→ yhliu : 一般它和 F'(x) = 0 的解是两回事. 不过, 此例 06/13 03:23
10F：→ yhliu : F(x) = Cx^3 -ln(x), 当 x→0+ 时 F(x)→+∞, 而 06/13 03:24
11F：→ yhliu : x→+∞ 时 F(x)→+∞. 因此, 若 F(x) = 0 有解而且 06/13 03:25
12F：→ yhliu : 是唯一解, 它必是 F(x) 的最低点, 因而 F'(x) = 0. 06/13 03:26
13F：→ yhliu : 所以才会找 F'(x) = 0 的解. 但要证明这是唯一解, 06/13 03:27
14F：→ yhliu : 除了它同时要满足 F(x) = 0 (这才是原目标), 也要它 06/13 03:28
15F：→ yhliu : 是唯一的. 06/13 03:28
16F：→ yhliu : 当 C < 0 或 C = 0 时, 因 F(x) 是严格单调的, 不可 06/13 03:29
17F：→ yhliu : 能找到 F'(x) = 0 的解. 不过, 倒是可由 F'(x) 恒负 06/13 03:30
18F：→ yhliu : 确立其严格单调性, 而得 "至多一解" 的结论. 06/13 03:31
19F：→ yhliu : 再修正: 除第1列 C>0 修正为 C<0 以外, 第3列修正如 06/13 03:34
20F：→ yhliu : 次: 而右边由 x=0 时的 0 降至 x→+∞ 时的 -∞. 06/13 03:34
21F：→ hengzhi : 太感谢你了哈哈 我了解了！ 原来关键在 F(x) 是最 06/13 11:17
22F：→ hengzhi : ！ 06/13 11:17