※ 引述《burder95121 (xxxx久久萬xxx)》之銘言： : http://ppt.cc/HO~T : http://ppt.cc/Egis : 我的積分觀念不是很好... : 第一張圖片的步驟跳太快看不太懂 : 第一個式子的x~1 變成 0~y 以及第二個式子ye^(y^2) 轉換方式看不太懂 : 第二張圖片是台大100微C第10題 看了板上的文章還是不太懂 : ACD 板上有高手說是圓 可是看不太出來 : 也希望運算式能夠清楚一點 : dx跟dy轉換我頭腦轉不太過來@@ : 或者是能提供相關詳細觀念的網站 : 拜託各位了! 1. 1 1 原積分 = ∫ ∫ e^(y^2) dydx 0 x 先來看積分區域：當 x 固定於 0 和 1 之間， y 範圍從 x 到 1 所以積分區域是你圖裡 R 的上半塊直角三角形； 又我們可以這樣來看這積分區域：固定 y 介於 0 和 1， x 範圍從 0 到 y 由 Fubini 定理可以知道， 1 1 1 y ∫ ∫ e^(y^2) dydx = ∫ ∫ e^(y^2) dxdy 0 x 0 0 1 = ∫ y e^(y^2) dy 0 = 1/2 * (e-1) 2. 先跟你說這題目有問題，圖裡的積分順序有錯是 dydx 而不是 dxdy ( 看到了嗎，一開始的積分區域是 0 到 sqrt(2x-x^2) ) 跟 1 一樣，先找出積分區域：固定 x 介於 0 和 2， y 範圍從 0 到 sqrt(2x-x^2) 所以積分區域是 R = {(x,y): -1≦x-1≦1，0≦y≦sqrt(1-(x-1)^2)} = {(x,y): (x-1)^2 + y^2 = 1 and y ≧ 0} = 以 (1,0) 為圓心， 1 為半徑之上半圓 (y ≧ 0) 可令坐標變換 x = 1+rcosθ， y = rsinθ， |J| = r π 1 原積分變成 ∫ ∫ (r^2 + 2rcosθ + 1) rdrdθ 0 0 π = ∫ 3/4 + 2/3 cosθ dθ 0 = 3/4 π π/2 (A) 的 I = ∫ 4 cos^4(θ) dθ = 4 * (3/8) π = 3/2 π； 錯 -π/2 π/2 (B) 的 I = ∫ 8/3 cos^3(θ) dθ = 32/3 ; 錯 -π/2 (C) 的 I 剛好是我們求的積分的兩倍; 錯 (D) 的 I 等於 A 的 I; 錯 (E) 這是對的 ------------------------------------------------------------------------ 總結一下，如果你說答案有 (A)、(C)、(D) 的話，那麼合理懷疑 原出題者想出的是 2 sqrt(2x-x^2) ∫ ∫ (x^2+y^2) dydx 0 -sqrt(2x-x^2) 那麼答案就會是 (A)、(C)、(D)、(E) 不過這題目漏洞還真多... --

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