※ 引述《burder95121 (xxxx久久万xxx)》之铭言： : http://ppt.cc/HO~T : http://ppt.cc/Egis : 我的积分观念不是很好... : 第一张图片的步骤跳太快看不太懂 : 第一个式子的x~1 变成 0~y 以及第二个式子ye^(y^2) 转换方式看不太懂 : 第二张图片是台大100微C第10题 看了板上的文章还是不太懂 : ACD 板上有高手说是圆 可是看不太出来 : 也希望运算式能够清楚一点 : dx跟dy转换我头脑转不太过来@@ : 或者是能提供相关详细观念的网站 : 拜托各位了! 1. 1 1 原积分 = ∫ ∫ e^(y^2) dydx 0 x 先来看积分区域：当 x 固定於 0 和 1 之间， y 范围从 x 到 1 所以积分区域是你图里 R 的上半块直角三角形； 又我们可以这样来看这积分区域：固定 y 介於 0 和 1， x 范围从 0 到 y 由 Fubini 定理可以知道， 1 1 1 y ∫ ∫ e^(y^2) dydx = ∫ ∫ e^(y^2) dxdy 0 x 0 0 1 = ∫ y e^(y^2) dy 0 = 1/2 * (e-1) 2. 先跟你说这题目有问题，图里的积分顺序有错是 dydx 而不是 dxdy ( 看到了吗，一开始的积分区域是 0 到 sqrt(2x-x^2) ) 跟 1 一样，先找出积分区域：固定 x 介於 0 和 2， y 范围从 0 到 sqrt(2x-x^2) 所以积分区域是 R = {(x,y): -1≦x-1≦1，0≦y≦sqrt(1-(x-1)^2)} = {(x,y): (x-1)^2 + y^2 = 1 and y ≧ 0} = 以 (1,0) 为圆心， 1 为半径之上半圆 (y ≧ 0) 可令坐标变换 x = 1+rcosθ， y = rsinθ， |J| = r π 1 原积分变成 ∫ ∫ (r^2 + 2rcosθ + 1) rdrdθ 0 0 π = ∫ 3/4 + 2/3 cosθ dθ 0 = 3/4 π π/2 (A) 的 I = ∫ 4 cos^4(θ) dθ = 4 * (3/8) π = 3/2 π； 错 -π/2 π/2 (B) 的 I = ∫ 8/3 cos^3(θ) dθ = 32/3 ; 错 -π/2 (C) 的 I 刚好是我们求的积分的两倍; 错 (D) 的 I 等於 A 的 I; 错 (E) 这是对的 ------------------------------------------------------------------------ 总结一下，如果你说答案有 (A)、(C)、(D) 的话，那麽合理怀疑 原出题者想出的是 2 sqrt(2x-x^2) ∫ ∫ (x^2+y^2) dydx 0 -sqrt(2x-x^2) 那麽答案就会是 (A)、(C)、(D)、(E) 不过这题目漏洞还真多... --

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