※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言： : ※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言： : : 各位好: : : (1) : : 1 : : g(x)= sin──, x≠0 : : x : : 0 , x＝0 : : 則g(x)在x=0處是否連續?說明之. : : (2) : : 1 : : f(x)= xsin── ,x≠0 : : x : : 0 ,x＝0 : : show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0. : : 剛碰到證明題,不知該如何下手? : : 煩請高手解說. : : 另外一問,請問證明比較多的書籍,可否推薦? : : 謝謝. : 照著上述大大所提示,我證明的方式如下,煩請指正錯誤 : (1) : 1 : lim sin(──) : x→0 x : 1 : -1<sin(──)<1 : x 2 這地方出錯,x(n)= ── nπ nπ 則g(x(n))=lim sin(──)不存在 x→0 2 : 1 : 因此sin(──)不存在 : x : 1 : 又lim sin(──)≠g(0) : x→0 x : : ∴故f(x)在x=0處不連續. : : 1 : sin(──)-f(0) : x : f'(x)=lim ─────── : x→0 x-0 : 1 : sin(──) : x : =lim ─────── : x→0 x : 1 : -1<sin(──)<1 : x : 1 : sin(──) : 1 x 1 : -── < ────) < ── : x x x : 1 : lim (-──)=∞ : - x : x→0 : 1 : lim (──)=∞ : + x : x→0 : ∴g(x)在x=0處不可微分. : ---------------------------------------------- : (2) : 1 : lim xsin(──) : x→0 x : 1 : -1<sin(──)<1 : x : 1 : -x< xsin(──)< +x : x : lim (-x)= 0 : - : x→0 : lim (x) = 0 : + : x→0 : 1 : 因此lim xsin(──)=0存在 : x→0 x : 1 : 又lim xsin(──)=f(0)=0 : x : ∴故f(x)在=0處連續. : 1 : xsin(──)-f(0) : x : f'(x)= lim ──────── : x→0 x-0 : 1 : xsin(──) : x : = lim ──────── : x→0 x : 1 : =lim sin(──) : x→0 x : 1 : -1<sin(──)<1 : x : lim -1 =-1 : - : x→0 : lim 1 = 1 : + : x→0 : ∴f(x)在x=0處不可微分. : 以上這樣寫分數都會拿到嗎? : 還是要補充哪些? : 謝謝. 這樣寫OK嗎? 還有哪裡要改? 感謝指教. --

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