※ 引述《skyghostlove (Chris)》之铭言： : ※ 引述《skyghostlove (Chris)》之铭言： : : 各位好: : : (1) : : 1 : : g(x)= sin──, x≠0 : : x : : 0 , x＝0 : : 则g(x)在x=0处是否连续?说明之. : : (2) : : 1 : : f(x)= xsin── ,x≠0 : : x : : 0 ,x＝0 : : show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0. : : 刚碰到证明题,不知该如何下手? : : 烦请高手解说. : : 另外一问,请问证明比较多的书籍,可否推荐? : : 谢谢. : 照着上述大大所提示,我证明的方式如下,烦请指正错误 : (1) : 1 : lim sin(──) : x→0 x : 1 : -1<sin(──)<1 : x 2 这地方出错,x(n)= ── nπ nπ 则g(x(n))=lim sin(──)不存在 x→0 2 : 1 : 因此sin(──)不存在 : x : 1 : 又lim sin(──)≠g(0) : x→0 x : : ∴故f(x)在x=0处不连续. : : 1 : sin(──)-f(0) : x : f'(x)=lim ─────── : x→0 x-0 : 1 : sin(──) : x : =lim ─────── : x→0 x : 1 : -1<sin(──)<1 : x : 1 : sin(──) : 1 x 1 : -── < ────) < ── : x x x : 1 : lim (-──)=∞ : - x : x→0 : 1 : lim (──)=∞ : + x : x→0 : ∴g(x)在x=0处不可微分. : ---------------------------------------------- : (2) : 1 : lim xsin(──) : x→0 x : 1 : -1<sin(──)<1 : x : 1 : -x< xsin(──)< +x : x : lim (-x)= 0 : - : x→0 : lim (x) = 0 : + : x→0 : 1 : 因此lim xsin(──)=0存在 : x→0 x : 1 : 又lim xsin(──)=f(0)=0 : x : ∴故f(x)在=0处连续. : 1 : xsin(──)-f(0) : x : f'(x)= lim ──────── : x→0 x-0 : 1 : xsin(──) : x : = lim ──────── : x→0 x : 1 : =lim sin(──) : x→0 x : 1 : -1<sin(──)<1 : x : lim -1 =-1 : - : x→0 : lim 1 = 1 : + : x→0 : ∴f(x)在x=0处不可微分. : 以上这样写分数都会拿到吗? : 还是要补充哪些? : 谢谢. 这样写OK吗? 还有哪里要改? 感谢指教. --

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