作者yhliu (老怪物)
看板trans_math
標題Re: [考古] 台大101微C
時間Sun May 12 10:23:41 2013
※ 引述《metastable (清士)》之銘言：
: 去年台大(C)第三題
: use lagrange multiplier or any other method to find the maximum and minimum
: of f(x,y)=x^3+y^3+3xy in the closed unit disk x^2+y^2≦1
: 我看訪間的解答寫求他極小的值 過程都寫得複雜
: 有比用圓參數化去求極值更好的方法嗎
臨界點方程式:
3x^2+3y = 0
3y^2+3x = 0
解 (x,y) = (0,0) or (-1,-1).
後者超出 x^2+y^2≦1 範圍;
前者檢驗二階偏導數知該處得鞍點.
故, 極值應在邊界 x^2+y^2 = 1 尋找.
Lagrange multiplier method 之方程式為:
3x^2+3y = 2λx
3y^2+3x = 2λy
x^2+y^2 = 1
解之(先消去λ), 得4點: (±1/√2,±1/√2).
代入 f(x,y) 求值, 比大小.
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1F：→ newversion:其實(0,0)不需二階檢驗，直接和邊界比 140.112.251.86 05/14 23:49
2F：→ newversion:較即可 140.112.251.86 05/14 23:49