作者BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)
看板trans_math
標題Re: [積分] 積分求救
時間Sun Mar 31 23:05:37 2013
※ 引述《metastable (清士)》之銘言：
: (1 - X^2 )^(1/2)
: ∫---------------------dx
: 2 X^2 - 1
: a b
: 我試過用分式去看 ---------------- + --------------
: √2 X^2 + 1 √2 X^2 -1
: 找不到答案
: -1 x -1
: ANS 是 - (1/2)tanh --------------- - (1/2) sin x
: (1-x^2)^(1/2)
: 有誰能告訴我怎麼積分?
上下同乘 √( 1 - x^2 )
x^2 - 1
原式 = ∫----------------------------- dx
(√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )
= (1/2)[ arctanh(x/sqrt(1-x^2)) - arcsinx ]
- arctanh(x/sqrt(1-x^2))
= (1/2)[ -arctanh(x/sqrt(1-x^2)) - arcsinx ] + c
-----
不負責任的話可以丟多項式讓你去從答案湊,
但是還是留一下過程好了,
至於分子是 x^2 那項, 就乘 2/2, 再加一減一拆項就可以了
Let x = sint dx = cost dt
√( 1 - x^2 ) = cost
1
Then ∫-------------------------- dx
( 1 - 2x^2)√( 1 - x^2 )
cost
= ∫------------------------ dt
[ 1 - 2(sint)^2 ] cost
1 (sect)^2
= ∫--------------- dt = ∫---------------------- dt
1 - 2(sint)^2 (sect)^2 - 2(tant)^2
(sect)^2 1
= ∫-------------- dt = ∫-------------- d(tant)
1 - (tant)^2 1 - (tant)^2
= arctanh(tant) + c
x
tant = ---------------
√( 1 - x^2 )
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.41.128.6
1F：→ BaBi:這題也太坑人Q____Q 114.41.128.6 03/31 23:07
2F：→ BaBi:建議先積後項, 後項積完可以拿來前項拆 114.41.128.6 03/31 23:08
3F：→ Sumino:你在帶sin做變數變換的時候 好像有點問題 1.175.129.248 03/31 23:45
4F：→ Sumino:上面是(-cos)^2 不是1... 1.175.129.248 03/31 23:45
5F：→ Sumino:可以留詳細點嗎 我對第一項有點問題~"~ 1.175.129.248 03/31 23:49
哪裡來的(-cos)^2咧@@?
※ 編輯: BaBi 來自: 114.41.128.6 (04/01 00:00)
6F：→ Sumino:可以求全部過程嗎? 一直差一個負號頭很痛XD 1.175.129.248 04/01 00:04
7F：→ BaBi:厄... 哪邊還需要詳細些咧Orz 114.41.128.6 04/01 00:04
8F：→ Sumino:前面那項 拜託 B大了m(_ _)m 1.175.129.248 04/01 00:06
9F：→ BaBi:x^2那項? 114.41.128.6 04/01 00:06
x^2
∫----------------------------- dx
(√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )
( 2x^2 - 1 ) + 1
= (1/2) ∫----------------------------- dx
(√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )
1
= (-1/2) ∫-------------- dx
√( 1 - x^2 )
1
+ (1/2) ∫----------------------------- dx
(√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )
= (-1/2)(arcsinx) + (1/2)[arctanh(x/sqrt(1-x^2)]
※ 編輯: BaBi 來自: 114.41.128.6 (04/01 00:18)
10F：→ Sumino:我現在在抓自己做法的bug 一直差一個負號.. 1.175.129.248 04/01 00:22
11F：→ BaBi:這題有夠煩, 不知道是哪裡來的題目... 114.41.128.6 04/01 00:23
12F：→ Sumino:抓到了我的bug了 好蠢 算太快忘了有變號~"~ 1.175.129.248 04/01 00:26
13F：→ Sumino:考場出現這題就送他 有時間壓力應該解不出 1.175.129.248 04/01 00:27
14F：→ BaBi:這種要留到最後再算Orz 114.41.128.6 04/01 00:28
15F：→ Sumino:計算真的太煩~"~ 1.175.129.248 04/01 00:28
16F：→ BaBi:但是現在看起來又還好... 被虐成性了嗎Q_Q 114.41.128.6 04/01 00:30
17F：→ Sumino:人家已經給你答案 也沒時間壓力 不會緊張.. 1.175.129.248 04/01 00:31
18F：推 metastable:謝謝b大 感覺這題過程好煩 118.160.70.187 04/01 23:02