作者BaBi (迅雷不及掩耳盗铃)
看板trans_math
标题Re: [积分] 积分求救
时间Sun Mar 31 23:05:37 2013
※ 引述《metastable (清士)》之铭言：
: (1 - X^2 )^(1/2)
: ∫---------------------dx
: 2 X^2 - 1
: a b
: 我试过用分式去看 ---------------- + --------------
: √2 X^2 + 1 √2 X^2 -1
: 找不到答案
: -1 x -1
: ANS 是 - (1/2)tanh --------------- - (1/2) sin x
: (1-x^2)^(1/2)
: 有谁能告诉我怎麽积分?
上下同乘 √( 1 - x^2 )
x^2 - 1
原式 = ∫----------------------------- dx
(√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )
= (1/2)[ arctanh(x/sqrt(1-x^2)) - arcsinx ]
- arctanh(x/sqrt(1-x^2))
= (1/2)[ -arctanh(x/sqrt(1-x^2)) - arcsinx ] + c
-----
不负责任的话可以丢多项式让你去从答案凑,
但是还是留一下过程好了,
至於分子是 x^2 那项, 就乘 2/2, 再加一减一拆项就可以了
Let x = sint dx = cost dt
√( 1 - x^2 ) = cost
1
Then ∫-------------------------- dx
( 1 - 2x^2)√( 1 - x^2 )
cost
= ∫------------------------ dt
[ 1 - 2(sint)^2 ] cost
1 (sect)^2
= ∫--------------- dt = ∫---------------------- dt
1 - 2(sint)^2 (sect)^2 - 2(tant)^2
(sect)^2 1
= ∫-------------- dt = ∫-------------- d(tant)
1 - (tant)^2 1 - (tant)^2
= arctanh(tant) + c
x
tant = ---------------
√( 1 - x^2 )
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.41.128.6
1F：→ BaBi:这题也太坑人Q____Q 114.41.128.6 03/31 23:07
2F：→ BaBi:建议先积後项, 後项积完可以拿来前项拆 114.41.128.6 03/31 23:08
3F：→ Sumino:你在带sin做变数变换的时候 好像有点问题 1.175.129.248 03/31 23:45
4F：→ Sumino:上面是(-cos)^2 不是1... 1.175.129.248 03/31 23:45
5F：→ Sumino:可以留详细点吗 我对第一项有点问题~"~ 1.175.129.248 03/31 23:49
哪里来的(-cos)^2咧@@?
※ 编辑: BaBi 来自: 114.41.128.6 (04/01 00:00)
6F：→ Sumino:可以求全部过程吗? 一直差一个负号头很痛XD 1.175.129.248 04/01 00:04
7F：→ BaBi:厄... 哪边还需要详细些咧Orz 114.41.128.6 04/01 00:04
8F：→ Sumino:前面那项 拜托 B大了m(_ _)m 1.175.129.248 04/01 00:06
9F：→ BaBi:x^2那项? 114.41.128.6 04/01 00:06
x^2
∫----------------------------- dx
(√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )
( 2x^2 - 1 ) + 1
= (1/2) ∫----------------------------- dx
(√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )
1
= (-1/2) ∫-------------- dx
√( 1 - x^2 )
1
+ (1/2) ∫----------------------------- dx
(√( 1 - x^2 )) ( 1 - 2x^2 )
= (-1/2)(arcsinx) + (1/2)[arctanh(x/sqrt(1-x^2)]
※ 编辑: BaBi 来自: 114.41.128.6 (04/01 00:18)
10F：→ Sumino:我现在在抓自己做法的bug 一直差一个负号.. 1.175.129.248 04/01 00:22
11F：→ BaBi:这题有够烦, 不知道是哪里来的题目... 114.41.128.6 04/01 00:23
12F：→ Sumino:抓到了我的bug了 好蠢 算太快忘了有变号~"~ 1.175.129.248 04/01 00:26
13F：→ Sumino:考场出现这题就送他 有时间压力应该解不出 1.175.129.248 04/01 00:27
14F：→ BaBi:这种要留到最後再算Orz 114.41.128.6 04/01 00:28
15F：→ Sumino:计算真的太烦~"~ 1.175.129.248 04/01 00:28
16F：→ BaBi:但是现在看起来又还好... 被虐成性了吗Q_Q 114.41.128.6 04/01 00:30
17F：→ Sumino:人家已经给你答案 也没时间压力 不会紧张.. 1.175.129.248 04/01 00:31
18F：推 metastable:谢谢b大 感觉这题过程好烦 118.160.70.187 04/01 23:02