※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言： : ※ 引述《suhorng ( )》之銘言： : : 如 #1FYZd7Nl 這串的回文 : : 若θ固定, 那 lim r→0 也是沿著一直線逼近原點 : lim h(r,θ) = L : r→0+ : 的意義是: : For any ε>0, there exists a δ>0, such that : |h(r,θ)-L| < ε whenever 0<r<δ 不好意思 我想請問一下這部份 寫 lim h(r,θ) = L 是把它當成單變數極限嗎? 若是, 那這跟 r→0+ 直接 |h(r,θ) - L| < ε應該不太一樣, 因為單變數極限下θ是視同固定的? 在θ會變跟θ不會變的情況下, |h(r,θ) - L| < ε的狀況也不同 舉一樣的例子來說, f(x,y) = xy^2/(x^2 + y^4), 當(x,y)→O時極限不存在. 而 r cosθsin^2θ h(r,θ) = -------------------- cos^2θ + r^2sin^4θ 則 r cosθsin^2θ lim ---------------------- = 0 r→0+ cos^2θ + r^2sin^4θ 因為當 cosθ≠0 時, |h(r,θ)|≦ r |sin^2θ/cosθ| → 0 當 r→0+ 當 cosθ = 0 時, h(r,θ) = 0 (因為 r > 0, sin^2θ≠0) 但是 lim h(r(x,y), θ(x,y)) 不存在. f(x,y) 當沿著 x = y^2 逼近時的極限為 1/2. (x,y)→(0,0) 也就是說, 我們可以選θ使得 cosθ = r sin^2θ 這樣 h(r,θ) = 1/2 --

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