※ 引述《suhorng ( )》之銘言： : 如 #1FYZd7Nl 這串的回文 : 若θ固定, 那 lim r→0 也是沿著一直線逼近原點 問題: lim f(x,y) 是否存在, 以及若存在, 其值是多少? (x,y)→(0,0) 疑問: 轉成極座標, 考慮 r→0, 其方法有無瑕疵? 設 f(x,y) = f(r cos(θ), r sin(θ)) = h(r,θ) 判定: (1) lim h(r,θ) 不存在, 或雖存在但與 θ 有關, r→0 則判定原極限不存在. (2) lim h(r,θ) = L, 與 θ 無關. r→0 則判定 lim f(x,y) = L (x,y)→(0,0) 其中(1)顯然是無疑義的,因為那代表取不同路徑時會得到 不同極限, 或(部分路徑)仍無極限, 而這當然代表原極限 不存在. 引起疑惑的是(2). 注意 lim f(x,y) = L (x,y)→(0,0) 的定義是: For any ε>0, there exists a δ>0, such that |f(x,y)-L| < ε whenever 0<√(x^2+y^2)<δ 而 lim h(r,θ) = L r→0+ 的意義是: For any ε>0, there exists a δ>0, such that |h(r,θ)-L| < ε whenever 0<r<δ 然而, f(x,y) = h(r,θ), 因此 |f(x,y)-L|<ε 等同於 |h(r,θ)-L|<ε 只要 (x,y) = (r cos(θ), r sin(θ)). 另一方面, 0<√(x^2+y^2)<δ 等同於 0<r<δ 只要 r = √(x^2+y^2). 由此可知, (2)是正確的. 也就是說, (x,y)→(0,0) 的極 限問題, 可以完全改為極座標下 r→0+ 的極限問題. -- 嗨! 你好! 你聽過或知道統計? 在學或在用統計? 統計專業版 Statistics 在這裡↓ 交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 我們強調專業的統計方法、實務及學習討論, 只想要題解的就抱歉了! --

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