※ 引述《suhorng ( )》之铭言： : 如 #1FYZd7Nl 这串的回文 : 若θ固定, 那 lim r→0 也是沿着一直线逼近原点 问题: lim f(x,y) 是否存在, 以及若存在, 其值是多少? (x,y)→(0,0) 疑问: 转成极座标, 考虑 r→0, 其方法有无瑕疵? 设 f(x,y) = f(r cos(θ), r sin(θ)) = h(r,θ) 判定: (1) lim h(r,θ) 不存在, 或虽存在但与 θ 有关, r→0 则判定原极限不存在. (2) lim h(r,θ) = L, 与 θ 无关. r→0 则判定 lim f(x,y) = L (x,y)→(0,0) 其中(1)显然是无疑义的,因为那代表取不同路径时会得到 不同极限, 或(部分路径)仍无极限, 而这当然代表原极限 不存在. 引起疑惑的是(2). 注意 lim f(x,y) = L (x,y)→(0,0) 的定义是: For any ε>0, there exists a δ>0, such that |f(x,y)-L| < ε whenever 0<√(x^2+y^2)<δ 而 lim h(r,θ) = L r→0+ 的意义是: For any ε>0, there exists a δ>0, such that |h(r,θ)-L| < ε whenever 0<r<δ 然而, f(x,y) = h(r,θ), 因此 |f(x,y)-L|<ε 等同於 |h(r,θ)-L|<ε 只要 (x,y) = (r cos(θ), r sin(θ)). 另一方面, 0<√(x^2+y^2)<δ 等同於 0<r<δ 只要 r = √(x^2+y^2). 由此可知, (2)是正确的. 也就是说, (x,y)→(0,0) 的极 限问题, 可以完全改为极座标下 r→0+ 的极限问题. -- 嗨! 你好! 你听过或知道统计? 在学或在用统计? 统计专业版 Statistics 在这里↓ 交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 我们强调专业的统计方法、实务及学习讨论, 只想要题解的就抱歉了! --

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