如 #1FYZd7Nl 這串的回文 若θ固定, 那 lim r→0 也是沿著一直線逼近原點 以 gj 的例子實際來算, 當 r≠0 xy^2 r^3 cosθ sin^2θ cosθ sin^2θ ------- = ------------------------- = --------------------- ×r x^2+y^4 r^2 cos^2θ + r^4 sin^4θ cos^2θ + r^2 sin^4θ 若cosθ≠0, 則 lim r→0 得到 0 若cosθ=0, 則 sinθ≠0, 接著 lim r→0 也是 0 (rcosθ)(rsinθ)^2 所以 lim ----------------------- = 0 r→0 (rcosθ)^2 + (rsinθ)^4 我相信書中把式子以極座標表示後, 不是 "把 r 趨近 0", 而是有其他如夾擠等 方法證明該極限值存在(夾擠到0)之類. 如以下例子: (當然, 下面這題不用極座標也很好算) xy(x^2-y^2) lim ------------- (x,y)→(0,0) x^2 + y^2 原式用極座標表示為 r^4 cosθsinθcos2θ/r^2, (x,y)≠(0,0)時就是 r^2 cosθsinθcos2θ. 所以顯然 (x,y)≠(0,0) 時 |原式|≦r^2, 因為 (x,y)→(0,0) 時 r→0 所以原式→0. ※ 引述《craig100 (不要問,很‧恐‧怖)》之銘言： ※ 引述《Edward56 (白面書生段譽)》之銘言： : : lim : : x,y->(0.0) x^2-y^2 : : -------- : : x^2+y^2 : : 這題， : : 極限是不存在的 : : 算法是把ｘ，ｙ分別趨近於零，值會不一樣 : : 所以極限不存在 : : 那有人知道為什麼可以這樣算嗎？ : : 有什麼線索可得知要分開趨近於零 : 這種題目有兩種做法 而這兩種方法的意義是相同的 : 法一: 令y=mx m為任意實數 : 意義上就是用各種斜率去逼近原點 : 所以原極限: : x^2 -(mx)^2 1-m^2 : lim --------------- = lim --------- : x->0 x^2 +(mx)^2 x->0 1+m^2 : 因為m為任意實數 所以原極限不存在 : 法二: 令x=rcosθ y=rsinθ θ為任意實數 : 意義上就是用各種角度去逼近原點 : 所以原極限: : : (rcosθ)^2 -(rsinθ)^2 (cosθ)^2-(sinθ)^2 : lim ------------------------- = lim ---------------------- : r->0 (rcosθ^2) +(rsinθ)^2 r->0 (cosθ)^2+(sinθ)^2 : cos2θ : =lim ----------- : r->0 1 : : 因為θ為任意實數 所以原極限不存在 # : → suhorng:這樣寫要小心 因為等號其實是不對的 118.166.52.102 08/05 11:04 : → suhorng:我是說寫 lim 這樣不太好 118.166.52.102 08/05 11:05 : 推 gj942l41l4:不過y=mx逼進結果相同也不代表一定存在 182.235.116.67 08/05 19:00 : → gj942l41l4:就是 182.235.116.67 08/05 19:00 : → gj942l41l4: 近 182.235.116.67 08/05 19:00 : 可否請兩問高手舉個例子 : 因為小弟在修高微時 這樣的寫法並沒有被糾正過 : (當然也有可能是小弟我的助教沒挑到這個小毛病) : 推 gj942l41l4:小提琴14.2ex3 f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4) 182.235.116.67 08/06 11:04 : → gj942l41l4:用y=mx,m為常數會逼近到0 182.235.116.67 08/06 11:05 : → gj942l41l4:但用x=y^2逼近會逼到1/2 182.235.116.67 08/06 11:05 : → gj942l41l4:法二我猜也有類似問題只是手邊沒例子 182.235.116.67 08/06 11:07 : 感謝指教!! : 小的用Larson9e的初微課本是教第二種逼近法 感覺應該比較沒問題= =? --

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