如 #1FYZd7Nl 这串的回文 若θ固定, 那 lim r→0 也是沿着一直线逼近原点 以 gj 的例子实际来算, 当 r≠0 xy^2 r^3 cosθ sin^2θ cosθ sin^2θ ------- = ------------------------- = --------------------- ×r x^2+y^4 r^2 cos^2θ + r^4 sin^4θ cos^2θ + r^2 sin^4θ 若cosθ≠0, 则 lim r→0 得到 0 若cosθ=0, 则 sinθ≠0, 接着 lim r→0 也是 0 (rcosθ)(rsinθ)^2 所以 lim ----------------------- = 0 r→0 (rcosθ)^2 + (rsinθ)^4 我相信书中把式子以极座标表示後, 不是 "把 r 趋近 0", 而是有其他如夹挤等 方法证明该极限值存在(夹挤到0)之类. 如以下例子: (当然, 下面这题不用极座标也很好算) xy(x^2-y^2) lim ------------- (x,y)→(0,0) x^2 + y^2 原式用极座标表示为 r^4 cosθsinθcos2θ/r^2, (x,y)≠(0,0)时就是 r^2 cosθsinθcos2θ. 所以显然 (x,y)≠(0,0) 时 |原式|≦r^2, 因为 (x,y)→(0,0) 时 r→0 所以原式→0. ※ 引述《craig100 (不要问,很‧恐‧怖)》之铭言： ※ 引述《Edward56 (白面书生段誉)》之铭言： : : lim : : x,y->(0.0) x^2-y^2 : : -------- : : x^2+y^2 : : 这题， : : 极限是不存在的 : : 算法是把ｘ，ｙ分别趋近於零，值会不一样 : : 所以极限不存在 : : 那有人知道为什麽可以这样算吗？ : : 有什麽线索可得知要分开趋近於零 : 这种题目有两种做法 而这两种方法的意义是相同的 : 法一: 令y=mx m为任意实数 : 意义上就是用各种斜率去逼近原点 : 所以原极限: : x^2 -(mx)^2 1-m^2 : lim --------------- = lim --------- : x->0 x^2 +(mx)^2 x->0 1+m^2 : 因为m为任意实数 所以原极限不存在 : 法二: 令x=rcosθ y=rsinθ θ为任意实数 : 意义上就是用各种角度去逼近原点 : 所以原极限: : : (rcosθ)^2 -(rsinθ)^2 (cosθ)^2-(sinθ)^2 : lim ------------------------- = lim ---------------------- : r->0 (rcosθ^2) +(rsinθ)^2 r->0 (cosθ)^2+(sinθ)^2 : cos2θ : =lim ----------- : r->0 1 : : 因为θ为任意实数 所以原极限不存在 # : → suhorng:这样写要小心 因为等号其实是不对的 118.166.52.102 08/05 11:04 : → suhorng:我是说写 lim 这样不太好 118.166.52.102 08/05 11:05 : 推 gj942l41l4:不过y=mx逼进结果相同也不代表一定存在 182.235.116.67 08/05 19:00 : → gj942l41l4:就是 182.235.116.67 08/05 19:00 : → gj942l41l4: 近 182.235.116.67 08/05 19:00 : 可否请两问高手举个例子 : 因为小弟在修高微时 这样的写法并没有被纠正过 : (当然也有可能是小弟我的助教没挑到这个小毛病) : 推 gj942l41l4:小提琴14.2ex3 f(x,y)=xy^2/(x^2+y^4) 182.235.116.67 08/06 11:04 : → gj942l41l4:用y=mx,m为常数会逼近到0 182.235.116.67 08/06 11:05 : → gj942l41l4:但用x=y^2逼近会逼到1/2 182.235.116.67 08/06 11:05 : → gj942l41l4:法二我猜也有类似问题只是手边没例子 182.235.116.67 08/06 11:07 : 感谢指教!! : 小的用Larson9e的初微课本是教第二种逼近法 感觉应该比较没问题= =? --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 118.166.44.85 ※ 编辑: suhorng 来自: 118.166.44.85 (08/07 11:55)