※ 引述《ayim (JOKE)》之銘言： : 原題目為找出 Sigma [(2k)!/(k!)^2] * (x+1)^k : 0~∞ : 收斂半徑算出來是 1/4 : 但是端點是階乘 斂散性不知道該怎麼判斷 : --> Sigma (2k)! / ((k!)^2)*(4^k) : 比值判別法因為半徑就是這樣找的 : 所以算出來是 1 無法判定 : 請教各位大大了 若可以使用 Stirling's formula, 直接換掉判斷斂散性即可; 不使用的話, ∞ (2k)! 1 Σ ------*---: k=0 (k!)^2 4^k (2k)! (2k)(2k-1)...1 (2k-1)(2k-3)...1 (2k)(2(k-1))...1 ------ = -------------- = ---------------------------------- (k!)^2 [k(k-1)...1]^2 k(k-1)...1*2^k k(k-1)....1*2^k 1 (2k-1)(2k-3)...3*1 = ---- ------------------ 2k (2k-2)(2k-4)...2 ≧ 1/2k => Σ(2k)! / [(k!)^2 * 4^k] ≧ Σ1/2k → ∞ - 這個端點也有另一種做法. ∞ 為了方便, 原級數寫成 Σ(2k)!/((k!)^2) t^k. 二項式定理知, 在 (-1/4,1/4) 中, k=0 原級數等於 (1-4t)^{-1/2}. 當 t→1/4, t<1/4 時, (1-4t)^{-1/2}→∞ 但是若原級數在 t = 1/4 收斂, 則由 Abel's thm 知 (1-4t)^{-1/2} 於 t→1/4, t<1/4 的極限也應該存在(而且等於原級數收斂到的值.) 因 (1-4t)^{-1/2} 極限值不存在, 原級數不收斂. ∞ (2k)! 1 Σ ------*------: k=0 (k!)^2 (-4)^k 這是交錯級數. 若我們能證明各項絕對值遞減且遞減到0, 那它就收斂. 絕對值遞減這很容易, 因為後項與前項絕對值之比 < 1; 那是否遞減到0? (2k)! (2k-1)(2k-3)...1 注意 --------- = ---------------- = (1 - 1/2k)(1 - 1/(2k-2))...(1 - 1/2) 4^k(k!)^2 (2k)(2k-2)...1 k 1 = exp( Σlog(1 - ----) ). t=0 2t 因為 lim log(1 - 1/(2x))／(-1/(2x)) = 1, 所以 exp 裡的級數與 Σ-1/(2k) 有 相同斂散性; 但後者發散到負無窮大, 所以 exp(Σlog) 趨近於0. 由交錯級數測試, 原級數在 -1/4 收斂. - _____________ 或者, 由不等式 (2k-1)/(2k) < √(2k-1)/(2k+1) (展開得證), 我們得 (2k-1)(2k-3)...1 _____________ _____________ ___ ________ ---------------- < √(2k-1)/(2k+1) √(2k-3)/(2k-1) ... √1/3 = √1/(2k+1) → 0 (2k)(2k-2)...1 --

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