※ 引述《ayim (JOKE)》之铭言： : 原题目为找出 Sigma [(2k)!/(k!)^2] * (x+1)^k : 0~∞ : 收敛半径算出来是 1/4 : 但是端点是阶乘 敛散性不知道该怎麽判断 : --> Sigma (2k)! / ((k!)^2)*(4^k) : 比值判别法因为半径就是这样找的 : 所以算出来是 1 无法判定 : 请教各位大大了 若可以使用 Stirling's formula, 直接换掉判断敛散性即可; 不使用的话, ∞ (2k)! 1 Σ ------*---: k=0 (k!)^2 4^k (2k)! (2k)(2k-1)...1 (2k-1)(2k-3)...1 (2k)(2(k-1))...1 ------ = -------------- = ---------------------------------- (k!)^2 [k(k-1)...1]^2 k(k-1)...1*2^k k(k-1)....1*2^k 1 (2k-1)(2k-3)...3*1 = ---- ------------------ 2k (2k-2)(2k-4)...2 ≧ 1/2k => Σ(2k)! / [(k!)^2 * 4^k] ≧ Σ1/2k → ∞ - 这个端点也有另一种做法. ∞ 为了方便, 原级数写成 Σ(2k)!/((k!)^2) t^k. 二项式定理知, 在 (-1/4,1/4) 中, k=0 原级数等於 (1-4t)^{-1/2}. 当 t→1/4, t<1/4 时, (1-4t)^{-1/2}→∞ 但是若原级数在 t = 1/4 收敛, 则由 Abel's thm 知 (1-4t)^{-1/2} 於 t→1/4, t<1/4 的极限也应该存在(而且等於原级数收敛到的值.) 因 (1-4t)^{-1/2} 极限值不存在, 原级数不收敛. ∞ (2k)! 1 Σ ------*------: k=0 (k!)^2 (-4)^k 这是交错级数. 若我们能证明各项绝对值递减且递减到0, 那它就收敛. 绝对值递减这很容易, 因为後项与前项绝对值之比 < 1; 那是否递减到0? (2k)! (2k-1)(2k-3)...1 注意 --------- = ---------------- = (1 - 1/2k)(1 - 1/(2k-2))...(1 - 1/2) 4^k(k!)^2 (2k)(2k-2)...1 k 1 = exp( Σlog(1 - ----) ). t=0 2t 因为 lim log(1 - 1/(2x))／(-1/(2x)) = 1, 所以 exp 里的级数与 Σ-1/(2k) 有 相同敛散性; 但後者发散到负无穷大, 所以 exp(Σlog) 趋近於0. 由交错级数测试, 原级数在 -1/4 收敛. - _____________ 或者, 由不等式 (2k-1)/(2k) < √(2k-1)/(2k+1) (展开得证), 我们得 (2k-1)(2k-3)...1 _____________ _____________ ___ ________ ---------------- < √(2k-1)/(2k+1) √(2k-3)/(2k-1) ... √1/3 = √1/(2k+1) → 0 (2k)(2k-2)...1 --

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