※ 引述《ivylan (藍藍)》之銘言： : A. 3. d/dx(sin^2((5+x^4)^1/3))= ? 連鎖率 2sin((5+x^4)^1/3)) * cos((5+x^4)^1/3)) * (1/3)(5+x^4)^(-2/3) * 4x^3 : B. 3. evaluate the line integral ∫(ydx-xdy)/(x^2+y^2) ,where C : line segment : C : from(1,1) to (2*3^1/2,2) : 這題線積分我們老師沒有教過.... 解法1 對任意路徑C -> -> 積分 = ∫-re_θ‧dr/r^2 = ∫(-1/r) rdθ = - ∫dθ = - Δθ 所以只要求出 -(末點角度) + (出點角度)即可! 計算(1,1)的角度是π/4 (2√3,2)的角度是π/6 所以結果是 - (π/6 - π/4) = π/12 這個以前我似乎也有在板上回答過 一般微積分課本幾乎一定會有的例題 是把積分路徑C改成半徑r固定的圓 x = rcost y = rsint (ydx-xdy)/(x^2+y^2) = r^2[-(sint)^2 - (cost)^2]dt / r^2 = -dt 和距離無關 注意這題是順時針 因為有負號 所以∫-dt = -Δt = -角度差 極座標中t = arctan(y/x) 在原點會有定義上的問題 但是原點外就無這個困擾 是保守的 意思就是只是起點終點有關 只和角度差有關 由於只和角度有關 計算(1,1)的角度是π/4 (2√3,2)的角度是π/6 所以結果是 - (π/6 - π/4) = π/12 解法2 因為是積直線 所以可以設x = 1 + (2√3 - 1)t y = 1 + 1t 代入積分式 1 ∫{(1+t)(2√3 - 1)dt - [1 + (2√3 - 1)t]dt} / {[1 + (2√3 - 1)t]^2+(1+t)^2} 0 1 = ∫(√3 - 1)dt / [1 + 2√3t + (7-2√3)t^2] 0 1 = (√3 - 1)∫ dt/[1 + (3+√3)u + u^2] 0 = [(√3 - 1)/(7-2√3)]∫ dt / {[t + √3/(7-2√3)]^2 + [1 - (√3/(7-2√3))^2]} 令 k = [t + √3/(7-2√3)] / √[1 - (√3/(7-2√3))^2] = [(√3 - 1)/{(7-2√3)√[1 - (√3/(7-2√3))^2]}] ∫ dk/[1+k^2] k_f = [(√3 - 1)/{(7-2√3)√[1 - (√3/(7-2√3))^2]}]arctan(k)| 一樣是arctan的形式 k_i k_f k_i 是k的上下限值 有點複雜 雖然長得不太相同 多了一個很醜的係數 但是最後答案會相等 --

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