※ 引述《ivylan (蓝蓝)》之铭言： : A. 3. d/dx(sin^2((5+x^4)^1/3))= ? 连锁率 2sin((5+x^4)^1/3)) * cos((5+x^4)^1/3)) * (1/3)(5+x^4)^(-2/3) * 4x^3 : B. 3. evaluate the line integral ∫(ydx-xdy)/(x^2+y^2) ,where C : line segment : C : from(1,1) to (2*3^1/2,2) : 这题线积分我们老师没有教过.... 解法1 对任意路径C -> -> 积分 = ∫-re_θ‧dr/r^2 = ∫(-1/r) rdθ = - ∫dθ = - Δθ 所以只要求出 -(末点角度) + (出点角度)即可! 计算(1,1)的角度是π/4 (2√3,2)的角度是π/6 所以结果是 - (π/6 - π/4) = π/12 这个以前我似乎也有在板上回答过 一般微积分课本几乎一定会有的例题 是把积分路径C改成半径r固定的圆 x = rcost y = rsint (ydx-xdy)/(x^2+y^2) = r^2[-(sint)^2 - (cost)^2]dt / r^2 = -dt 和距离无关 注意这题是顺时针 因为有负号 所以∫-dt = -Δt = -角度差 极座标中t = arctan(y/x) 在原点会有定义上的问题 但是原点外就无这个困扰 是保守的 意思就是只是起点终点有关 只和角度差有关 由於只和角度有关 计算(1,1)的角度是π/4 (2√3,2)的角度是π/6 所以结果是 - (π/6 - π/4) = π/12 解法2 因为是积直线 所以可以设x = 1 + (2√3 - 1)t y = 1 + 1t 代入积分式 1 ∫{(1+t)(2√3 - 1)dt - [1 + (2√3 - 1)t]dt} / {[1 + (2√3 - 1)t]^2+(1+t)^2} 0 1 = ∫(√3 - 1)dt / [1 + 2√3t + (7-2√3)t^2] 0 1 = (√3 - 1)∫ dt/[1 + (3+√3)u + u^2] 0 = [(√3 - 1)/(7-2√3)]∫ dt / {[t + √3/(7-2√3)]^2 + [1 - (√3/(7-2√3))^2]} 令 k = [t + √3/(7-2√3)] / √[1 - (√3/(7-2√3))^2] = [(√3 - 1)/{(7-2√3)√[1 - (√3/(7-2√3))^2]}] ∫ dk/[1+k^2] k_f = [(√3 - 1)/{(7-2√3)√[1 - (√3/(7-2√3))^2]}]arctan(k)| 一样是arctan的形式 k_i k_f k_i 是k的上下限值 有点复杂 虽然长得不太相同 多了一个很丑的系数 但是最後答案会相等 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 128.220.147.254 ※ 编辑: Honor1984 来自: 128.220.147.254 (07/07 00:57)