※ 引述《Wolfry07 (浪跡)》之銘言： : 極限的問題是我不懂題目要做甚麼 : (去補習班求救過了,輔導老師也沒輒) : 微分的那題則是看不懂講義上的詳解 : ----------------------------------------- : { 1/x : 1.Let H(x)=| e ,x<0 : | m ,x=0 : { asin(x)+bcos(X)+cx ,x>0 : Find conditions of m,a,b,c, such that, respectively : (1) H(x) is continuous everywhere : (2) H(x) is differentiable everywhere : (3) H(x) has an inflection point at x=0 : 講義上的答案如下 : (1) b=m=0 : (2) b=m=0, a+c=0 : (3) b=m=0, a≧0 題目給出一個分段函數，分別要你求出滿足下列條件的m.a.b.c值。 　(1) H(x)在定義域內處處連續 連續在單變數函數中定義如下: 1. x 趨近於一數 k 時，極限值 lim f(x) 存在。 　　　　 2. f(k) 存在。 x->k 　　　　 3. 函數值 f(k) = 極限值 lim f(x) x->k 由上述得知 lim e^(1/x) = lim[asin(x)+bcos(x)+cx] = m x->0- x->0+ 又 lim e^(1/x) = 0 x->0- 得 m = 0 且 lim[asin(x)+bcos(x)+cx] = 0 + b + 0 = 0 x->0+ 故 m = b = 0 始符合題目要求。 (2) H(x)處處可微 可微分之定義如下： 　　　　 1. 原函數連續且平滑。 　　　　 2. 即導函數存在且相等。 　　　　　　（導函數為原函數之一種極限，極限存在需具有唯一性。） 　　　直接將上分段函數微分，得： (-1)(1/x^2)e^(1/x) , x > 0 h(x) = 0 , x = 0 acos(x) - bsin(x) + c , x < 0 利用極限存在之唯一性， 　　　lim (-1)(1/x^2)e^(1/x) = lim [acos(x)-bsin(x)+c] = 0 x->0- x->0+ 即 a - 0 + c = 0 , a + c = 0 （此處注意原函數需連續，才可微分，故m = b = 0承上題。） (3)於 x=0 處，有反曲點存在 反曲點定義如下： 　　　　　　 　　　　　一函數其在 x = k 處，其二階微分為 0 ，但三階微分不為 0 稱 ( k, f(k) ) 為其反曲點。 　　　　　幾何意義為：在該點左右兩側，曲線凹性不同 　　　　　　　　　　　（即：f''(k+)*f''(k-)<0） 　　發現 x->0-,H''(x)=[(2x+1)e^(1/x)]/x^4 > 0 所以 x->0+,H''(x)=-asin(x) < 0 故a > 0 (此答案應沒有等於,僅大於而已) 　　　（又如題２，須滿足連續條件，故m = b = 0承上題） --

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