※ 引述《Wolfry07 (浪迹)》之铭言： : 极限的问题是我不懂题目要做甚麽 : (去补习班求救过了,辅导老师也没辄) : 微分的那题则是看不懂讲义上的详解 : ----------------------------------------- : { 1/x : 1.Let H(x)=| e ,x<0 : | m ,x=0 : { asin(x)+bcos(X)+cx ,x>0 : Find conditions of m,a,b,c, such that, respectively : (1) H(x) is continuous everywhere : (2) H(x) is differentiable everywhere : (3) H(x) has an inflection point at x=0 : 讲义上的答案如下 : (1) b=m=0 : (2) b=m=0, a+c=0 : (3) b=m=0, a≧0 题目给出一个分段函数，分别要你求出满足下列条件的m.a.b.c值。 　(1) H(x)在定义域内处处连续 连续在单变数函数中定义如下: 1. x 趋近於一数 k 时，极限值 lim f(x) 存在。 　　　　 2. f(k) 存在。 x->k 　　　　 3. 函数值 f(k) = 极限值 lim f(x) x->k 由上述得知 lim e^(1/x) = lim[asin(x)+bcos(x)+cx] = m x->0- x->0+ 又 lim e^(1/x) = 0 x->0- 得 m = 0 且 lim[asin(x)+bcos(x)+cx] = 0 + b + 0 = 0 x->0+ 故 m = b = 0 始符合题目要求。 (2) H(x)处处可微 可微分之定义如下： 　　　　 1. 原函数连续且平滑。 　　　　 2. 即导函数存在且相等。 　　　　　　（导函数为原函数之一种极限，极限存在需具有唯一性。） 　　　直接将上分段函数微分，得： (-1)(1/x^2)e^(1/x) , x > 0 h(x) = 0 , x = 0 acos(x) - bsin(x) + c , x < 0 利用极限存在之唯一性， 　　　lim (-1)(1/x^2)e^(1/x) = lim [acos(x)-bsin(x)+c] = 0 x->0- x->0+ 即 a - 0 + c = 0 , a + c = 0 （此处注意原函数需连续，才可微分，故m = b = 0承上题。） (3)於 x=0 处，有反曲点存在 反曲点定义如下： 　　　　　　 　　　　　一函数其在 x = k 处，其二阶微分为 0 ，但三阶微分不为 0 称 ( k, f(k) ) 为其反曲点。 　　　　　几何意义为：在该点左右两侧，曲线凹性不同 　　　　　　　　　　　（即：f''(k+)*f''(k-)<0） 　　发现 x->0-,H''(x)=[(2x+1)e^(1/x)]/x^4 > 0 所以 x->0+,H''(x)=-asin(x) < 0 故a > 0 (此答案应没有等於,仅大於而已) 　　　（又如题２，须满足连续条件，故m = b = 0承上题） --

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