※ 引述《doom8199 (～口卡口卡　修～)》之銘言： 恕刪 : ※ 引述《PaulErdos (My brain is open)》之銘言： : 但是兩者做法還是得先費一番苦工找出 f'(x) (但原題不需要費苦工) : 我實在無法體會推文大大所說的 "硬做" 是有多 "硬" ? : 而且我覺得這只是兩個不同的 concept : 所謂的 "方法多餘" , 對我而言的 flow diagram 會是如下: (舉例) : ┌─────┐ ┌─────┐ : Input ───→ │ method A │ ─┬→ │ method B │ ──→ Output B : └─────┘ │ └─────┘ : │ : │ : └───────────→ Output A : 若存在一個 Input , 會有 Output A = Output B : 那顯然的, method B 其實可以不需要去做它 for that Input : 但是若真的把原問題的兩種解法 : 細分並畫出先後關係 : L'Hopital's rule 應該不會扮演 method 2 的角色 : 何來多餘之說? 題目是 1 x 2 lim -----∫ cos t dt x→0 x 0 x 這很明顯就是求 f(x)=∫ cos(t^2)dt 在 x=0 的導數， 0 所以可以直接算出答案=1。 你說， 不好意思，雖然那個極限就是導數的定義不過我看不出來， 我要用羅必達做可以嗎？ 當然可以，但要用 L'Hopital's rule 計算 lim f(x)/g(x) 是有前提的： x->a i) f(x)、g(x) 同時趨近 0 或 ∞ ii) f(x)、g(x) 在 x=a 可微分(導數存在) iii) lim f'(x)/g'(x) 存在 x->a 才會有 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) 的關係。 x->a x->a x 現在 f(x)=∫ cos(t^2)dt 及 g(x)=x，要用羅必達算 lim f(x)/g(x) 0 x->0 i) lim f(x) = 0 且 lim g(x) = 0 ∴滿足 x->0 x->0 ii) g(x) 處處可微，但 f(x) 可微嗎? 照定義, 求 lim [f(h)-f(0)] / h h->0 h = lim [∫ cos(t^2)dt ] / h h->0 0 咦, 這不就是題目本身嗎? 由 FTC = cos(x^2) | |x=0 = 1 寫完收工，iii) 完全沒必要做下去 繼續做可以嗎？ 可以 答案會一樣嗎？ 會 只不過答案早就求出了，繼續做下去也沒什麼意思。 : 有人說這樣算是在繞遠路 精確來說並非繞遠路，是你早就經過目的地，但沒發現。 就像想從台北搭火車到台中，雖然不太知道怎麼搭， 但記得之前常常從台南搭到台中，購票簡單路程又短，於是你就打算先搭到台南再轉車。 不料，火車經過台中時你竟然沒看出來，沒下車， 開開心心坐過頭，然後再從台南坐回台中，如此而已。 : 或許在其思考中，中間有一段是出現以下的思考程序: : f'(x) ──┬─→ A ──┬─→ f'(0) : │ │ : └─→ B ──┘ : A 是直接帶 x=0 過去， B 則是利用連續性過去 (舉例) : 這樣的平行思考路線，若覺得 B 的方法太繞路了 : 自己要把 B 的思考鍊砍掉當然ok阿，因為那是自己本身的考量所致 : 但有人就是會覺得走 B 路線，對他自己本身而言比較方便 : 甚至有人想把 A路線砍掉 : 只要別犯了循環論證之類的錯誤 也無不可 : 例如 某某人會覺得不論 input 是啥，只要可以 work : 我只要走路線 B 就好 : 何需每次計算的時候，還要先花時間判斷 路線A 的前置條件是否成立 就這題而言，路線B能通的前提就是路線A....因此底下有點引喻失當 : 這就好比像是 : 若今天有一個軟體可以解 lim (f/g) : 假設有一個大型程式需要解上述問題 100萬次好了 : 有人會把程式寫成 if( (f(0)==0) & (g=x) ) then 微分定義 : else 羅必達 : 某某人就是會覺得每次都要先判斷, 導致多出了一百萬次判斷的時間 : 說不定這一百萬筆問題，有 99.xx萬筆問題得須藉助羅必達來解決 : 那幹嘛這一百萬筆資料不全用 羅必達 來算來比較省時間? 充其量省開發時間而已，執行時的時間複雜度分析起來未必。 最後還是要提一下，這是比較"數學"的看法， 這裡畢竟為了轉學考試，以做得快做得正確為第一， 現在題目也很少要你去檢查是否符合羅必達的前提。 : (當然若 微分定義 的算法比 L'H. 算法還 "快" 多了, 那得須另外討論 ) : 對硬體而言 : 上述作法還要多浪費一個 多工器 + equivalence checking + ... 的成本 : ---------- : 講到最後，我自己也不知道結論是啥.... --

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