※ 引述《olala313 (喔耶耶)》之銘言： : 1 x 2 : lim -----∫ cos t dt : x→0 x 0 x | = [(d/dx)∫ cos(t^2) dt ] | (by definition) 0 |x=0 | = cos(x^2) | (by FTC) | x=0 = 1 f(x) 當 f(0) = 0 時, lim ------ 即是 f'(0) 的定義式, 此 x→0 x 種情形引用 L'Hopital's rule 是不適當的! 因為要引用 L'Hopital's rule, 首先就要有 f'(x) 在 0 附近, 或直 接需要 f'(0). x 或有懷疑如 ∫ cos(t^2) dt 只定義於 x>0 者. 非也! 0 若上列積分限於 x>0, 則原極限只能考慮單邊極限. 事實上, 由定積分基本性質可知, x x 0 ∫ cos(t^2) dt = ∫ cos(t^2) dt - ∫ cos(t^2) dt 0 a a 由於 cos(t^2) 在 R 連續, a 可取任意夠小(代數值),使 得 x>a 且 0>a 成立, 而 x 是在 0 的某個鄰域之內, 即 x in (-h,h) for some h>0. 假設使用 L'Hopital's rule 來解原極限, 需要應用的條 件與定理是: (1) cos(t^2) 在 0 的一個去核鄰域(-h,0)∪(0,h)連續. (2) 應用微積分基本定理, 得原極限式分子部分之導式為 cos(x^2). (3) 由 cos(x^2) 的特性, 得 lim_{x→0} cos(x^2)=1. (4) 上列操作,事實上是分 x>0 與 x<0 分別考慮的---請 查一下 L'Hopital's rule 的證明, 在不用到 "x=0" 這一點的形式, 是只考慮單邊極限的. 依微分定義+FTC, 需要應用的條件與定理是: (1) cos(t^2) 在任意有界閉區間都可積, in partiular, 在 0 的一個鄰域內的任意閉區間都可積分. 與前一方法比較, 前法是假設: cos(t^2) 在以 0 為 起點或終點的閉區間都可積分. 但如此一來, 也就同 本法假設的一樣: 在任一有界閉區間都可積分. (2) cos(t^2) 在 t=0 連續, 因此由 FTC 得 d x | ---∫ cos(t^2) dt | = cos(0^2) = 1 dx 0 | x=0 -- 嗨! 你好! 你聽過或知道統計? 在學或在用統計? 統計專業版 Statistics 在這裡↓ 交大資訊次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (統計與機率) 成大計中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (統計方法及學理討論區) 盈月與繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (統計：讓數字說話) 我們強調專業的統計方法、實務及學習討論, 只想要題解的就抱歉了! --

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