※ 引述《olala313 (喔耶耶)》之铭言： : 1 x 2 : lim -----∫ cos t dt : x→0 x 0 x | = [(d/dx)∫ cos(t^2) dt ] | (by definition) 0 |x=0 | = cos(x^2) | (by FTC) | x=0 = 1 f(x) 当 f(0) = 0 时, lim ------ 即是 f'(0) 的定义式, 此 x→0 x 种情形引用 L'Hopital's rule 是不适当的! 因为要引用 L'Hopital's rule, 首先就要有 f'(x) 在 0 附近, 或直 接需要 f'(0). x 或有怀疑如 ∫ cos(t^2) dt 只定义於 x>0 者. 非也! 0 若上列积分限於 x>0, 则原极限只能考虑单边极限. 事实上, 由定积分基本性质可知, x x 0 ∫ cos(t^2) dt = ∫ cos(t^2) dt - ∫ cos(t^2) dt 0 a a 由於 cos(t^2) 在 R 连续, a 可取任意够小(代数值),使 得 x>a 且 0>a 成立, 而 x 是在 0 的某个邻域之内, 即 x in (-h,h) for some h>0. 假设使用 L'Hopital's rule 来解原极限, 需要应用的条 件与定理是: (1) cos(t^2) 在 0 的一个去核邻域(-h,0)∪(0,h)连续. (2) 应用微积分基本定理, 得原极限式分子部分之导式为 cos(x^2). (3) 由 cos(x^2) 的特性, 得 lim_{x→0} cos(x^2)=1. (4) 上列操作,事实上是分 x>0 与 x<0 分别考虑的---请 查一下 L'Hopital's rule 的证明, 在不用到 "x=0" 这一点的形式, 是只考虑单边极限的. 依微分定义+FTC, 需要应用的条件与定理是: (1) cos(t^2) 在任意有界闭区间都可积, in partiular, 在 0 的一个邻域内的任意闭区间都可积分. 与前一方法比较, 前法是假设: cos(t^2) 在以 0 为 起点或终点的闭区间都可积分. 但如此一来, 也就同 本法假设的一样: 在任一有界闭区间都可积分. (2) cos(t^2) 在 t=0 连续, 因此由 FTC 得 d x | ---∫ cos(t^2) dt | = cos(0^2) = 1 dx 0 | x=0 -- 嗨! 你好! 你听过或知道统计? 在学或在用统计? 统计专业版 Statistics 在这里↓ 交大资讯次世代 telnet://bs2.twbbs.org Statistics (统计与机率) 成大计中站 telnet://bbs.ncku.edu.tw Statistics (统计方法及学理讨论区) 盈月与繁星 telnet://ms.twbbs.org Statistics (统计：让数字说话) 我们强调专业的统计方法、实务及学习讨论, 只想要题解的就抱歉了! --

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