※ 引述《t0036776 (asking)》之銘言： : 說明一下背景 : 目前休學補習轉學中，如你所知，新竹那家通往勝利的補習班，想聽王博只能看帶子 : 而只聽正課的我還沒開始看。 : 某天寫考古題寫到 : 97政大國貿 (2)(b) : int [sin(x)]/[x] dx,x=0..inf : 網址http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sinx%2Fx+dx%2Cx%3D0..inf : 卡題，問偉X的老師， 他教我用夾擠，我夾不住。 : 接著便想說朝發散的方向去想， : 兩個人熱烈討論後的結果是----發散 : 我用上面的網址積積看，收斂至二分之PI : 找王博的解答來翻， (細說範例6-40) : 看了之後感覺很傻眼 這方法我看都沒看過 : 感覺有點扯 翻原文書(STEWART ET 6E)也沒看到 : 再來 95台聯大 計算題第7題B : int (x^3-1)/(lnx)dx,x=0..1 : 網址http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+sinx%2Fx+dx%2Cx%3D0..inf : 王博細說範例6-44 : 這2題的解法看不太懂，把不能積的函數，換上一個變數，變成可以積的函數， : 然後積完再代數字進函數，變成原題，答案就跑出來了? : 問題是以後遇到一個我積不出來的函數，我都可以用這種發法做？ : 而且要怎麼剛好把原題改一個變數換成可以積的函數？ : 能用這種方法做的題目要怎麼分類啊？ : 我該看王博，還是算考古題跟原文書呢？總覺時間不太夠 政大那題 Let F(s) = [int e^(-sx)sinx dx,x=0..inf]; [int F(s) ds,s=0..inf] =[int e^(-sx)sinx dxds,x=0..inf,s=0..inf] =[int e^(-sx)sinx dsdx,s=0..inf,x=0..inf] =[int (sinx)/x dx,x=0..inf]------均勻收斂積分，次序可對調------- 故原題=[int (sinx)/x dx,x=0..inf]=[int F(s) ds,s=0..inf]----(a) 其中 F(s) =[int e^(-sx)sinx dx,x=0..inf] =[1/(s^2+1)] 帶回(A),得原式=[int (sinx)/x dx,x=0..inf] =[int 1/(s^2+1),s=0..inf]={[arctan s],s=0..inf}=pi/2 ------------------------------------------------------------- ∫= int,inf = ∞,x=a..b a是下限 b是上限 另解 ψ(α)=[int e^(-αx) * (sinx)/x dx,x=0..inf] (α>0),ψ(α)為均勻收斂 dψ(α)/dα //ψ(α)對α微分 = [int (d e^(-αx)/dα)(sinx)/x dx,x=0..inf] = [int -e^(-αx)(sinx)/x dx,x=0..inf] = -1/(α^2+1) 將此式對α積分得 ψ(α)=[int e^(-αx) * (sinx)/x dx,x=0..inf] =[int -1/(α^2+1) dα+c = - arctan(α)+c 取α-->inf，即可得 c = pi/2 故[int e^(-αx) * (sinx)/x dx,x=0..inf]= pi/2 - arctan(α) 再將左右式代入α=0即可得[int (sinx)/x dx,x=0..inf] = pi/2 看不太懂哪一段算式的，可以把那一小段算式貼到http://www.wolframalpha.com/ --

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