※ 引述《ri3567 (阿小)》之銘言： : 我想請問以下三個 del的公式證明 : 我自己也有想過 : 可是有些地方沒有辦法用嚴格證明的寫出來 : 想請問各位高手 : 以下A.B.F.G.H都是向量 ‧為內積 ×為外積 : --------------------------------------------------------------------------- : 1. ▽‧(A ×B) = B‧(▽×A)－A‧(▽×B) : 2. ▽×(A ×B) = (▽‧B)A－(▽‧A)B＋(B‧▽)A－(A‧▽)B : 3. ▽(A‧B) = (A‧▽)B ＋ (B‧▽)A ＋ A ×(▽×B) ＋ B ×(▽×A) : ------------------------------------------------------------------ : 自己的一些想法 : 有些應該有錯 請各位高手指正 : ------------------------------------------------------------------ : 1. : 主要的問題是 if F‧(G ×H) = H‧(F ×G) = － G‧(F ×H) : 這些公式都知道 : 那照這樣代的話應該只有第一項兒以 : 不過del是一個偏微的運算子所以會有第二項 : 那該怎麼嚴格寫出來 微分算符要分別對A, B作用，所以當然會有兩項 要導這公式首先先想我們的目的是什麼 我們的目的其實就是把微分算符一次只作用一個向量就好 怎麼作用呢？ |c c c | | 1 2 3| 首先我們知道C‧(A×B)=|a a a |，由det的性質告訴我們A, B, C三個向量 | 1 2 3| 每兩個交換就變號 |b b b | | 1 2 3| 把▽當作C的話 什麼叫做「微分算符一次只作用一個向量」？ 就是把▽放在A, B的位置做curl (反正也不能做grad，做div的話就會跟原來的一樣XD) 只是說因為原本的微分算符有要分別對A, B作用 所以也要分別取▽×A和▽×B 再由於上述的det的性質幫助我們知道正負號要怎麼取 所以我們就得到▽‧(A ×B) = B‧(▽×A)－A‧(▽×B) : 2. : 從向量展開公式只會得到前面兩項 : 後面的就真的不知是怎麼來的 既然你已經知道要用這個公式 A×(B×C)=B(A‧C)-C(A‧B) 不過還是要小心微分算符的性質(也就是每個都要被微分到) 仔細觀察前兩項會發現 (▽‧B)A 只有對B微分，如果要對A微分而且又不違背我們的向量公式的話 利用內積交換順序我們得到(B‧▽)A (你總不能多個curl吧XD) 至於－(▽‧A)B 同理我們還要再補上－(A‧▽)B : 3. : 後面兩項展開與兩項前面消掉 : 會剩下 ▽(A‧B)+▽(B‧A) = 2▽(A‧B) 系數怎麼消掉的 從右邊推到左邊或許比較容易 我猜你的展開又少了某些項XD --

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