※ 引述《ri3567 (阿小)》之铭言： : 我想请问以下三个 del的公式证明 : 我自己也有想过 : 可是有些地方没有办法用严格证明的写出来 : 想请问各位高手 : 以下A.B.F.G.H都是向量 ‧为内积 ×为外积 : --------------------------------------------------------------------------- : 1. ▽‧(A ×B) = B‧(▽×A)－A‧(▽×B) : 2. ▽×(A ×B) = (▽‧B)A－(▽‧A)B＋(B‧▽)A－(A‧▽)B : 3. ▽(A‧B) = (A‧▽)B ＋ (B‧▽)A ＋ A ×(▽×B) ＋ B ×(▽×A) : ------------------------------------------------------------------ : 自己的一些想法 : 有些应该有错 请各位高手指正 : ------------------------------------------------------------------ : 1. : 主要的问题是 if F‧(G ×H) = H‧(F ×G) = － G‧(F ×H) : 这些公式都知道 : 那照这样代的话应该只有第一项儿以 : 不过del是一个偏微的运算子所以会有第二项 : 那该怎麽严格写出来 微分算符要分别对A, B作用，所以当然会有两项 要导这公式首先先想我们的目的是什麽 我们的目的其实就是把微分算符一次只作用一个向量就好 怎麽作用呢？ |c c c | | 1 2 3| 首先我们知道C‧(A×B)=|a a a |，由det的性质告诉我们A, B, C三个向量 | 1 2 3| 每两个交换就变号 |b b b | | 1 2 3| 把▽当作C的话 什麽叫做「微分算符一次只作用一个向量」？ 就是把▽放在A, B的位置做curl (反正也不能做grad，做div的话就会跟原来的一样XD) 只是说因为原本的微分算符有要分别对A, B作用 所以也要分别取▽×A和▽×B 再由於上述的det的性质帮助我们知道正负号要怎麽取 所以我们就得到▽‧(A ×B) = B‧(▽×A)－A‧(▽×B) : 2. : 从向量展开公式只会得到前面两项 : 後面的就真的不知是怎麽来的 既然你已经知道要用这个公式 A×(B×C)=B(A‧C)-C(A‧B) 不过还是要小心微分算符的性质(也就是每个都要被微分到) 仔细观察前两项会发现 (▽‧B)A 只有对B微分，如果要对A微分而且又不违背我们的向量公式的话 利用内积交换顺序我们得到(B‧▽)A (你总不能多个curl吧XD) 至於－(▽‧A)B 同理我们还要再补上－(A‧▽)B : 3. : 後面两项展开与两项前面消掉 : 会剩下 ▽(A‧B)+▽(B‧A) = 2▽(A‧B) 系数怎麽消掉的 从右边推到左边或许比较容易 我猜你的展开又少了某些项XD --

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