※ 引述《h888512 (衝)》之銘言： : ※ [本文轉錄自 Math 看板] : 作者: h888512 (衝) 看板: Math : 標題: [微積] 幾個問題 : 時間: Tue Feb 23 18:57:04 2010 : ∞ __ : 1.試證∫ e^(-t^2) cos(2xt)dt = √π/2 e^(-x^2) : 0 2 我覺得這題應該超出初微的範疇 ∞ -t 我記得我有在這裡PO過怎樣證明∫ e dt=√π/2 0 n ∞ (-1) 2n 因為cos(2xt)=Σ -----(2xt) n=0 (2n)! 2 ∞ -t n (2n)!√π 所以我們令I =∫ e t dt => I =(n+ 1/2)I (註一)=> I =---------(註二) n 0 n n-1 n 2*n!*4^n 2n 2n 2 ∞ (-2x) √π∞ (-2x) x => 所求=Σ -----I =--- Σ ------=√π/(2e ) n=0 (2n)! n 2 n=0 n!*4^n 2 1 ∞ -x 2n+1 1 註一︰I =----∫ e d(x )=---- I n 2n+1 0 2n+1 2n+1 (2n-1)(2n-3)...*1 (2n)! 註二︰I =----------------- I =------ I n 2^n 0 n!*4^n 0 : π π : 2.試證∫ xf(sinx)dx = π/2∫ f(sinx)dx : 0 0 : 這題應該是用雙函數的積分均值定理吧,但是還是沒頭緒... 這題真的很多書都有寫 而且你都問這麼難的題目，我相信這題對你應該是a piece of cake!! : 3.設a>0,並令Qa = [-a,a]*[-a,a] : ∫∫ xye^-(x^2+y^2)/(1+x^2)(1+y^2) dxdy : = lim ∫∫ xye^-(x^2+y^2)/(1+x^2)(1+y^2) dxdy : a->+∞ Qa : 求∫∫ xye^-(x^2+y^2)/(1+x^2)(1+y^2) dxdy : 直接極座標沒辦法處理,兩個拆開又積不出來.... 好吧我承認我推文只是嘴砲的 2 -t te 因為∫-----dt要用到橢圓積分(又是超出初微範圍="=) 1+t^2 然後老實講我也不是很懂這個 囧，只好另請高明... : 以上三題請大家幫個忙~~ 多謝 --

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