首先 ＿ 請你考慮 lim √x x→0 按照你的說法 是不存在 可是它是零喔 你可以用軟體跑一下 ※ 引述《keith291 (keith)》之銘言： : ※ 引述《PaulErdos (My brain is open)》之銘言： : : 不對 : : 它的定義域是 (0.∞) : : 所以根本就只有右極限可言 : : 沒有什麼左極限存不存在的問題 : : 左極限? 你要怎麼左? : : 請回歸定義 : : for any ε＞0 : : there exists δ＞0 : : such that : : │f(x)－L│＜ ε whenever │x－0│＜δ : : 什麼是│x－0│＜δ ? : : 那就是x落在 (0,δ)這個區間內 : 錯了 : whenever │x－0│＜δ : 即-δ < x＜δ 的 "所有x" 都要滿足│f(x)－L│＜ ε (附帶一提 應該是 : 0 <│x－0│＜δ因為x=0那點我們並不關心 故所有x不用包含x=0) = = 那個函數的定義域就沒有負的 你到底為什麼要指派 (-δ,0)這部份給它 在它的定義域 (0,k) 裡面 滿足 0＜│x－0│＜δ δ小於k 的時候 當然就是(0,δ)這區間 你怎麼會寫(-δ,δ) .... -δ是哪裡蹦出來的? 定義域裡根本沒有呀 這有很難懂嗎? 這時候 0＜│x－0│＜δ 和 0＜ x－0 ＜δ 是不是完全相同? -δ < x＜δ 的 "所有x" 是不是就等同於 0 < x＜δ 的 "所有x" ? 還是你能給我反例 指出某個點符合左邊不等式但不符合右邊不等式嗎? : : 而非x落在(-δ,δ) , 再讓你分成 (-δ,0)和(0,δ)分開看 : : 因為x沒機會落在0的左邊 : : 這並非左極限不存在 : : x從來就左不了 : 極限的精確定義: : Let f be a function define on some open interval that contain : the number t,except possibly at t itself.Then we say that the limit of f(x) : as x approaches t is L and we write lim f(x) = L : x→t : if for every numberε＞0,there is a number δ＞0 : such that │f(x)－L│＜ ε whenever 0 <│x－t│＜δ : 這函數定義域是(0,∞)根本不滿足 contain "0" 這個數的條件 本來就不需要了 我前面確實漏打了 應該寫 0＜│x－0│＜δ 你也幫我糾正了 這裡也寫 except possibly at t itself 你怎麼又把它當條件了 ? : 然後 : 此函數滿足右極限存在條件: : lim f(x) = L : x→t+ : if for every numberε＞0,there is a number δ＞0 : such that │f(x)－L│＜ ε whenever t < x < t+δ : 所以此題的確只存在右極限 : 不存在我們一般指的極限 : 因為我們一般常用的極限全名其實是"雙邊極限"(two-sided limit) : 他的左極限根本不存在了 何來存在雙邊極限? 我怎麼覺得你這一段不是在支持自己= = 看清楚一點 這一段哪裡使此例不合ε-δ定義了 ? 指出來給我看 你現在的問題之一在於 你要搞清楚 什麼叫左極限"不存在" 就是我的x從指定點的左邊趨近它 卻極限(值)不存在 可是現在定義域根本不包含指定點的左邊 這樣根本談不上從左邊趨近 那這樣我怎麼可以說是左極限(值)不存在呢 ? 所以 一種情況是可以做左極限 但做出來是極限值不存在 以定義來看的話 就是當 0 < t－x ＜δ 時 不管我如何讓δ繼續變小 │f(x)－L│都沒有辦法小於ε 這叫做極限(值) 不存在 另一種是根本沒有左極限可言, 這跟極限值不存在是不一樣的 當 0 <│x－t│＜δ 時 其實就是 0 < x－t ＜δ 因為 x－t 根本沒有機會小於零呀 所以你用 0 < x－t ＜δ 做 符合定義 發現它右極限存在 這時候就保證 0 <│x－t│＜δ 時也符合定義了 因為此時只要 0 < x－t ＜δ 同時也 0 <│x－t│＜δ 不然你可以指出不合定義的地方 大多情況是定義域包含了t的左右 所以才會把0 <│x－t│＜δ 拆開成 0 < t－x ＜δ 和 0 < x－t ＜δ 分開看 這時候才會說 lim f 存在 iff lim f 和 lim f 存在且相等 x→t x→t- x→t+ 因為這時候只要有一邊的極限值不存在或存在但不相等 馬上就不合極限定義了 而在此例中 x完全談不上從左邊趨近 所以 x趨近t 和 x從右邊趨近t 就變成同一回事了 它只有一個方向可以過去呀 簡單地來說 就是你把Collorary當成Definition 用得很開心 卻忘了它的條件 忘了原始定義怎麼講 你將來如果學到高微的話 這其實很基本 就定義來說 x落在 t的 neighborhood 或者說 一個包含t的ball 裡頭時 使得 d(f(x),L)＜ε 但此例t恰好在定義域的boundary上, 所以t的 neighborhood 也就是包含t的 "ball" 是個殘缺不全的ball 甚至你會知道 如果定義域只有一個點 那麼它是連續的 很奇怪吧? 它完全沒有任何方向的極限可言 但它符合ε-δ的定義呀 再給你一個反例 按照你的說法 任何函數f 在區間[a,b]上時 必在端點a,b不連續 所以它只能在開區間(a,b)上連續 因為 在a點"左極限不存在" (這是你的說法...) 在b點"右極限不存在" (再強調一次,這是你的說法...) 所以f不可能 "在[a,b]上連續" 但這又是均值定理的條件 所以可以推知 在初微中 均值定理無法成立 因為沒辦法合條件 --

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