首先 ＿ 请你考虑 lim √x x→0 按照你的说法 是不存在 可是它是零喔 你可以用软体跑一下 ※ 引述《keith291 (keith)》之铭言： : ※ 引述《PaulErdos (My brain is open)》之铭言： : : 不对 : : 它的定义域是 (0.∞) : : 所以根本就只有右极限可言 : : 没有什麽左极限存不存在的问题 : : 左极限? 你要怎麽左? : : 请回归定义 : : for any ε＞0 : : there exists δ＞0 : : such that : : │f(x)－L│＜ ε whenever │x－0│＜δ : : 什麽是│x－0│＜δ ? : : 那就是x落在 (0,δ)这个区间内 : 错了 : whenever │x－0│＜δ : 即-δ < x＜δ 的 "所有x" 都要满足│f(x)－L│＜ ε (附带一提 应该是 : 0 <│x－0│＜δ因为x=0那点我们并不关心 故所有x不用包含x=0) = = 那个函数的定义域就没有负的 你到底为什麽要指派 (-δ,0)这部份给它 在它的定义域 (0,k) 里面 满足 0＜│x－0│＜δ δ小於k 的时候 当然就是(0,δ)这区间 你怎麽会写(-δ,δ) .... -δ是哪里蹦出来的? 定义域里根本没有呀 这有很难懂吗? 这时候 0＜│x－0│＜δ 和 0＜ x－0 ＜δ 是不是完全相同? -δ < x＜δ 的 "所有x" 是不是就等同於 0 < x＜δ 的 "所有x" ? 还是你能给我反例 指出某个点符合左边不等式但不符合右边不等式吗? : : 而非x落在(-δ,δ) , 再让你分成 (-δ,0)和(0,δ)分开看 : : 因为x没机会落在0的左边 : : 这并非左极限不存在 : : x从来就左不了 : 极限的精确定义: : Let f be a function define on some open interval that contain : the number t,except possibly at t itself.Then we say that the limit of f(x) : as x approaches t is L and we write lim f(x) = L : x→t : if for every numberε＞0,there is a number δ＞0 : such that │f(x)－L│＜ ε whenever 0 <│x－t│＜δ : 这函数定义域是(0,∞)根本不满足 contain "0" 这个数的条件 本来就不需要了 我前面确实漏打了 应该写 0＜│x－0│＜δ 你也帮我纠正了 这里也写 except possibly at t itself 你怎麽又把它当条件了 ? : 然後 : 此函数满足右极限存在条件: : lim f(x) = L : x→t+ : if for every numberε＞0,there is a number δ＞0 : such that │f(x)－L│＜ ε whenever t < x < t+δ : 所以此题的确只存在右极限 : 不存在我们一般指的极限 : 因为我们一般常用的极限全名其实是"双边极限"(two-sided limit) : 他的左极限根本不存在了 何来存在双边极限? 我怎麽觉得你这一段不是在支持自己= = 看清楚一点 这一段哪里使此例不合ε-δ定义了 ? 指出来给我看 你现在的问题之一在於 你要搞清楚 什麽叫左极限"不存在" 就是我的x从指定点的左边趋近它 却极限(值)不存在 可是现在定义域根本不包含指定点的左边 这样根本谈不上从左边趋近 那这样我怎麽可以说是左极限(值)不存在呢 ? 所以 一种情况是可以做左极限 但做出来是极限值不存在 以定义来看的话 就是当 0 < t－x ＜δ 时 不管我如何让δ继续变小 │f(x)－L│都没有办法小於ε 这叫做极限(值) 不存在 另一种是根本没有左极限可言, 这跟极限值不存在是不一样的 当 0 <│x－t│＜δ 时 其实就是 0 < x－t ＜δ 因为 x－t 根本没有机会小於零呀 所以你用 0 < x－t ＜δ 做 符合定义 发现它右极限存在 这时候就保证 0 <│x－t│＜δ 时也符合定义了 因为此时只要 0 < x－t ＜δ 同时也 0 <│x－t│＜δ 不然你可以指出不合定义的地方 大多情况是定义域包含了t的左右 所以才会把0 <│x－t│＜δ 拆开成 0 < t－x ＜δ 和 0 < x－t ＜δ 分开看 这时候才会说 lim f 存在 iff lim f 和 lim f 存在且相等 x→t x→t- x→t+ 因为这时候只要有一边的极限值不存在或存在但不相等 马上就不合极限定义了 而在此例中 x完全谈不上从左边趋近 所以 x趋近t 和 x从右边趋近t 就变成同一回事了 它只有一个方向可以过去呀 简单地来说 就是你把Collorary当成Definition 用得很开心 却忘了它的条件 忘了原始定义怎麽讲 你将来如果学到高微的话 这其实很基本 就定义来说 x落在 t的 neighborhood 或者说 一个包含t的ball 里头时 使得 d(f(x),L)＜ε 但此例t恰好在定义域的boundary上, 所以t的 neighborhood 也就是包含t的 "ball" 是个残缺不全的ball 甚至你会知道 如果定义域只有一个点 那麽它是连续的 很奇怪吧? 它完全没有任何方向的极限可言 但它符合ε-δ的定义呀 再给你一个反例 按照你的说法 任何函数f 在区间[a,b]上时 必在端点a,b不连续 所以它只能在开区间(a,b)上连续 因为 在a点"左极限不存在" (这是你的说法...) 在b点"右极限不存在" (再强调一次,这是你的说法...) 所以f不可能 "在[a,b]上连续" 但这又是均值定理的条件 所以可以推知 在初微中 均值定理无法成立 因为没办法合条件 --

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