※ 引述《air11 (iNCCU)》之銘言： : 想請教幾題不定積分 : 1. ∫(x^4)*sqrt(1+(x^2)) dx 我承認這不是好方法 4 5 4 5 令x=sinhθ，則原式=∫sinh θcoshθ d sinhθ=sinh θcoshθ- ---sinh θ 5 6 +∫sinh θdθ θ -θ 6 e - e 2 3 1 3 其中∫sinh θdθ=∫((------) ) =---∫(cosh2θ-1) d 2θ 2 8 3 3 1 又因cosh 3t=4cosh t - 3cosh t => cosh t=---(3cosh t - cosh 3t) 4 2 2 1 cosh 2t=2cosh t - 1 => cosh t=---(cosh 2t + 1) 2 代入t=2θ得 3 1 3 ∫(cosh2θ-1) d 2θ=∫---(3cosh2θ - cosh6θ)- ---(cosh4θ + 1)d 2θ 4 2 3 1 3 15 +---sinh2θ-2θ=- ----sinh6θ- ---sinh4θ+---sinh2θ 2 24 8 8 -5θ+ c 2 1/2 當然答案還要再把sinh nθ換成sinhθ=x, coshθ=(1+x ) 至於怎麼換就讓我騙點P幣嘴炮一下XD ix 在一般三角函數中我們知道e =cos x +isin x ix*n -ix*n ix*n n e + e 所以cos nx=Re{e }=Re{(cos x+isin x) }=-------------- 2 n-k n-k n n k n-k i +(-i) =Σ C cos x sin x(------------) k=0 k 2 ix*n -ix*n ix*n n e - e sin nx=Im{e }=Im{(cos x+isin x) }=-------------- 2i n-k n-k n n k n-k i -(-i) =Σ C cos x sin x(------------) k=0 k 2i 回歸正題 x cosh x+sinh x -x coshx -sinh x 因為e =---------------，e =--------------- 感覺一下便得 2 2 -n n n n-k k => cosh nx=2 Σ C cosh x *sinh x，k為偶數 k=0 k -n n n n-k k sinh nx=2 Σ C cosh x *sinh x，k為奇數 k=1 k : 2. ∫(x^2)*sqrt(1+(x^4)) dx : 這題好像又比上題更難積= =|| 根據線上integrator告訴我們 這個式子要用到橢圓積分 : ------------------------------------------------- : 順便請教一下 : 我們知道有些不定積分，是無論用什麼辦法都積不出來的 : 例如：∫e^(x^2) dx , ∫(sinx)/x dx : 這些都是一般課本常見的 : 我想問的是 : 要怎麼判斷某些積分是跟上述的情形一樣 : 怎麼積就是沒有結果？ 有時候可以用軟體幫你算 算不出來的話"通常"就是其結果不能用初等函數表示 (當然偶爾有例外XD) : 畢竟不是每種情形，課本都會收錄 : 雖然一般考試(轉考、研究所)不會出這麼刁難的問題 : 不過我想知道一下，有沒有辦法可以判斷.. : 謝謝大大的幫忙！！ : 謝謝 : 感恩 --

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