※ 引述《air11 (iNCCU)》之铭言： : 想请教几题不定积分 : 1. ∫(x^4)*sqrt(1+(x^2)) dx 我承认这不是好方法 4 5 4 5 令x=sinhθ，则原式=∫sinh θcoshθ d sinhθ=sinh θcoshθ- ---sinh θ 5 6 +∫sinh θdθ θ -θ 6 e - e 2 3 1 3 其中∫sinh θdθ=∫((------) ) =---∫(cosh2θ-1) d 2θ 2 8 3 3 1 又因cosh 3t=4cosh t - 3cosh t => cosh t=---(3cosh t - cosh 3t) 4 2 2 1 cosh 2t=2cosh t - 1 => cosh t=---(cosh 2t + 1) 2 代入t=2θ得 3 1 3 ∫(cosh2θ-1) d 2θ=∫---(3cosh2θ - cosh6θ)- ---(cosh4θ + 1)d 2θ 4 2 3 1 3 15 +---sinh2θ-2θ=- ----sinh6θ- ---sinh4θ+---sinh2θ 2 24 8 8 -5θ+ c 2 1/2 当然答案还要再把sinh nθ换成sinhθ=x, coshθ=(1+x ) 至於怎麽换就让我骗点P币嘴炮一下XD ix 在一般三角函数中我们知道e =cos x +isin x ix*n -ix*n ix*n n e + e 所以cos nx=Re{e }=Re{(cos x+isin x) }=-------------- 2 n-k n-k n n k n-k i +(-i) =Σ C cos x sin x(------------) k=0 k 2 ix*n -ix*n ix*n n e - e sin nx=Im{e }=Im{(cos x+isin x) }=-------------- 2i n-k n-k n n k n-k i -(-i) =Σ C cos x sin x(------------) k=0 k 2i 回归正题 x cosh x+sinh x -x coshx -sinh x 因为e =---------------，e =--------------- 感觉一下便得 2 2 -n n n n-k k => cosh nx=2 Σ C cosh x *sinh x，k为偶数 k=0 k -n n n n-k k sinh nx=2 Σ C cosh x *sinh x，k为奇数 k=1 k : 2. ∫(x^2)*sqrt(1+(x^4)) dx : 这题好像又比上题更难积= =|| 根据线上integrator告诉我们 这个式子要用到椭圆积分 : ------------------------------------------------- : 顺便请教一下 : 我们知道有些不定积分，是无论用什麽办法都积不出来的 : 例如：∫e^(x^2) dx , ∫(sinx)/x dx : 这些都是一般课本常见的 : 我想问的是 : 要怎麽判断某些积分是跟上述的情形一样 : 怎麽积就是没有结果？ 有时候可以用软体帮你算 算不出来的话"通常"就是其结果不能用初等函数表示 (当然偶尔有例外XD) : 毕竟不是每种情形，课本都会收录 : 虽然一般考试(转考、研究所)不会出这麽刁难的问题 : 不过我想知道一下，有没有办法可以判断.. : 谢谢大大的帮忙！！ : 谢谢 : 感恩 --

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