※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言： : ∞ x^(p-1) π : ∫---------------dx=----------- : 0 1+x sinpπ 這個積分在所有複變課本內容或者習題中是一定會有的 這是基本複變定積分的範圍 但是複變最常用在求"定"積分的求值上(優點) 卻很難得出相對應的展開式(缺點) 微積分剛好相反 因為這板是講微積分 我就用微積分的方法做出來 ∞ x^(p-1) ∫---------------dx 0 1+x 1 x^(p-1) 1 x^(p-1) = ∫--------dx + ∫---------dx 0 1+x 0 1+x ∞ (-1)^k (-1)^k = Σ [--------- + ----------] k=0 k-p+1 k+p ∞ (-1)^k = Σ -------- k=-∞ p + k 到這裡為止微積分的工作就結束了 這就是我上面說的 這是微積分的缺點 同時也是優點 這個級數同 1 = π---------- sin(pπ) : 我換到三角函數變這樣 : π/2 2 : 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ : 0 : 然後就寫不下去了@@ : 幫幫忙囉 你要換算成這個樣子的目的是要使用Beta或者Gamma函數 但是除非你已經先把他們某些互相或者各自的關係式記下來 否則你只是寫出他們的形式 並不能得到最後的closed form 只能表達定積分可用他們表示 因為會特別立出來Beta函數或者Gamma函數 除了他們的應用外 這些函數的求值一般微積分是沒辦法直接求出來的 但是既然書上將最初的積分化成這個樣子 就表示它要使用Beta或者Gamma已知的關係來"求值" 但是Beta和Gamma函數有很多關係 你只要背其中幾點 自然其他等價的關係都應該可以推導出來 其實你給的原積分式本身就是一種Beta函數B(p,1-p) π/2 2 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ 0 t = (sinθ)^2 1 = ∫ t^(p-1) * (1-t)^(-p) dt 0 = B(p,1-p) Γ(p)Γ(1-p) = ------------- Γ(1) π = ------- sin(pπ) 也可以像你化簡成那個三角函數的積分看出是B(p,1-p) 就看你關係式背多少 π 假如你只有背最基本的Beta和Gamma表達式以及Γ(x)Γ(1-x)= -------- sin(πx) 從你變數變換後的式子開始出翻 1 2 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ 0 π/2 = 2∫ (sinθ)^(2p-1) * (cosθ)^(-2p+1) dθ 0 ∞π/2 2∫∫ r * exp(-r^2) * (sinθ)^(2p-1) * (cosθ)^(-2p+1) drdθ 0 0 = --------------------------------------------------------------- ∞ ∫r * exp(-r^2) dr 0 (1/2)Γ(1-p)Γ(p) = -------------------------- (1/2) π = ------- sin(pπ) --

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