※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之铭言： : ∞ x^(p-1) π : ∫---------------dx=----------- : 0 1+x sinpπ 这个积分在所有复变课本内容或者习题中是一定会有的 这是基本复变定积分的范围 但是复变最常用在求"定"积分的求值上(优点) 却很难得出相对应的展开式(缺点) 微积分刚好相反 因为这板是讲微积分 我就用微积分的方法做出来 ∞ x^(p-1) ∫---------------dx 0 1+x 1 x^(p-1) 1 x^(p-1) = ∫--------dx + ∫---------dx 0 1+x 0 1+x ∞ (-1)^k (-1)^k = Σ [--------- + ----------] k=0 k-p+1 k+p ∞ (-1)^k = Σ -------- k=-∞ p + k 到这里为止微积分的工作就结束了 这就是我上面说的 这是微积分的缺点 同时也是优点 这个级数同 1 = π---------- sin(pπ) : 我换到三角函数变这样 : π/2 2 : 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ : 0 : 然後就写不下去了@@ : 帮帮忙罗 你要换算成这个样子的目的是要使用Beta或者Gamma函数 但是除非你已经先把他们某些互相或者各自的关系式记下来 否则你只是写出他们的形式 并不能得到最後的closed form 只能表达定积分可用他们表示 因为会特别立出来Beta函数或者Gamma函数 除了他们的应用外 这些函数的求值一般微积分是没办法直接求出来的 但是既然书上将最初的积分化成这个样子 就表示它要使用Beta或者Gamma已知的关系来"求值" 但是Beta和Gamma函数有很多关系 你只要背其中几点 自然其他等价的关系都应该可以推导出来 其实你给的原积分式本身就是一种Beta函数B(p,1-p) π/2 2 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ 0 t = (sinθ)^2 1 = ∫ t^(p-1) * (1-t)^(-p) dt 0 = B(p,1-p) Γ(p)Γ(1-p) = ------------- Γ(1) π = ------- sin(pπ) 也可以像你化简成那个三角函数的积分看出是B(p,1-p) 就看你关系式背多少 π 假如你只有背最基本的Beta和Gamma表达式以及Γ(x)Γ(1-x)= -------- sin(πx) 从你变数变换後的式子开始出翻 1 2 2∫(sinθ)^(2p-1)(1-sin θ)^(-p)dsinθ 0 π/2 = 2∫ (sinθ)^(2p-1) * (cosθ)^(-2p+1) dθ 0 ∞π/2 2∫∫ r * exp(-r^2) * (sinθ)^(2p-1) * (cosθ)^(-2p+1) drdθ 0 0 = --------------------------------------------------------------- ∞ ∫r * exp(-r^2) dr 0 (1/2)Γ(1-p)Γ(p) = -------------------------- (1/2) π = ------- sin(pπ) --

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