※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言： : 首先符號約定 : h(0):導數定義求得的值 h_2(0):g'(0) h(0+):f'(0+) h(x)=f'(x) : ^^^^^^ : ↑請注意符號 : 你在推文中質疑1.我沒有點出<1>的h(0)和<2>的h_2(0)不同 : 2.f(0+),f(0-)跟他問的問題沒有關係 : 我想分別釐清回答 : 1. : h(0)和h(0+),h(0-)不必要不一樣 : i)可以有一樣的情況 if f'(x)連續 h(0+) = f'(0) = h(0-) : ii)不一樣的情況 if f'(x)不連續 也就是 h(0+)或h(0-) =/= f'(0) : 到此為止 跟g(0) g'(0)一點關係都沒有 : f(x) = x^2*sin(1/x) x=/=0 : 0 x=0 : h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) x=/=0 : 0 x=0 : h(x->0) ~ xsin(1/x) - cos(x+1/x) : h(0+),h(0-) ~ -cos(x+1/x) 越接近0 h(x)於[-1,1]之間震盪越厲害 : lim h(x) not defined lim h(x) not defined : x->0- x->0+ : x > 0及x < 0從兩邊往x = 0逼近 永遠到不了x = 0 : 但是因為f(0)定義了 = 0 f(x)被強迫約束並且到達到0 : 又-x^2 < f(x) < x^2 於x->0 振幅->0 f(x)=0之點於越靠近x=0之鄰域有無限多點 : => f'(0) = 0 這就是為什麼lim h(x) not defined lim h(x) not defined : x->0- x->0+ : h(0+),h(0-)為何不等於h(0)的原因 : 從頭到尾都不需要也碰不到h_2(0) : 你要我怎麼點出h_2(0)和h(0)是不一樣的？ : h_2(0)和h(0)一不一樣有那麼重要嗎？ 一樣跟不一樣都不會影響任何結果啦! : 因為h(0)只會有一個值 或者根本沒有值 但就是不會有兩個值(指h_2(0)) : 2. : 設f(x) = x^2 * sin(1/x) for x=/= 0 : f'(x) = h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) for x=/=0 將x=0代入 發現不會是一個常數值 : 難道這就表示h_2(0)?? : 我前面已經說過2x*sin(1/x) - cos(1/x)根本跑不到x=0 : 就拿k(x) = 1/x for x=/=0 當例子 代x=0進去 發現發散 難道這就表示k(0)? ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 當然是指lim k(x)簡寫k(0+) 及lim k(x)簡寫k(0-) : x->0+ x->0- ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ?????? : 要不然為何要寫for x=/=0? : 所以把x=0代入偶函數f'(x) = h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) for x=/=0 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 這個動作對f(x)代表的意義就是h(0+),h(0-) 絕不是h_2(0) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ?????? : 到此為止 跟g(0), g'(0)=h_2(0) 一點關係都沒有 : 有關的只是h(0+),h(0-) : 所以我很納悶f'(0+) f'(0-)怎麼會跟原po問的沒有關係？ 關係太大了！ : 反倒是一直提g(0)g'(0)的問題 實際上根本就沒有碰觸到 : 哪來的g(0) g'(0)的問題? --- 你那幾句話不覺得怪怪的嗎＝＝ 終於知道你問題出在哪 原本還以為您講的東西都對: k(x) = 1/x for x≠0 你說 x=0 帶入，發現發散 　　請問如何得知為發散? 您所定義的函數 k(x) 當 x=0 , k(0) map 到哪個值域去 您有定義嗎? 照你的邏輯 " 將x=0帶入 k(x), 當然是指 k(0+) 及 k(0-) " 我有沒有看錯　＝＝ 　　原來中文的帶入還可以因為函數定義域的不同 　　而修改成逼近 　　這麼人性化？ 舉個例子: 假設 f(x) = (sinx)/x 請問 f(0) = ? 很明顯 f(x) 在 x=0 沒定義 所以 f(0) 是多少，不知道阿 我只知道 f(0+)=f(0-)=1 如此而已 但您怎能說 " 將x=0帶入 f(x) , 當然是指 f(0+)=f(0-)=1 " ? ---------- 再回來看原po問的 我把他第二篇回的內容節錄下來: ''''' 所以我就試試看把xsin(1/x)微分 再把0帶下去 結果竟然不一樣 其實不能微分再代0的 ''''' 並非我在玩文字遊戲 　　 而是原 po 從一開始就用 "帶入" 這個動作來表示 這用數學語言應該表示成 : f'(0) , 而非 lim f'(x) 吧 x→0 　　 就如您所說的 h_2(0) 這東西根本就沒被定義 ( 就是我ㄧ開始po的 g'(0) ) 但是 但是 但是 原po他正是在嘗試求 h_2(0) 阿＝＝　　（雖然是不可能求出來,因為沒定義） 若原po所謂的　"帶入" ,是用逼近的概念去求 lim f'(x) x→0 那我自己就無言了 因為變成是原po他自己錯用動詞 　　 但從一開始到現在 　　 我沒看到原po有說　" 用 x→0 去求 f'(0) " 　　 所以 所以 所以 怎麼會跟 lim g'(x) or lim f'(x) 有關係呢? x→0 x→0 但你竟然把帶入誤用成趨近 OTZ... ( 對此case來說是 ) ------------------------------我是分隔線----------------------------------- 我舉個簡單的例子好了: f(x) = ┌ x^2 if x≠1 　　　　　 └ 1 if x=1 * 原po一開始的想法: lim f(x) = 1^2 = 1 x→1 所以 f(x) 在 x=1 連續　（好高興︿︿） 那我就嘗試把 x^2　對 x微分: f'(x) = 2x 帶 x=1 進去 , 得 f'(1) = 2 若套導數的定義: x^2 - 1 f'(1) = lim _______ = 2 x→1 x - 1 兩者會相等︿︿ 　　　　　　　 以後就這樣做好了︿︿ * 我的想法: 首先原po用微分算出來的導數不叫 f'(0) 　 　　　　　　　　假設 f(x) = ┌ g(x) if x≠1 　　　　　　　　　　　　　　 └ 1 if x=1 for g(x)=x^2 則原po那樣微分的意思是: g(x) - g(1) g'(1) = lim ___________ x→1 x - 1 請問 g'(1) 有被 defined 嗎? 很明顯沒有 　　　　　　　　因為根本不知道 g(1) 是多少 那為何 g'(1) 那樣帶入會有值? 是因為 原本的 g'(x)=2x 只有限定 x≠1 的case 原po卻把 x=1 的case也當成是 "有定義" 而拿下去算 這蘊含著原po承認 g(0)=0 (這部份的邏輯與證明我就省略不說了XD) 但若我定義 g(1) = 0 好了 　　　　　　　　這樣 g'(1) 就會變成正負無窮大而發散 x^2 - 0 因為: g'(1) = lim _______ 發散 x→0 x - 1 所以 g'(1) 跟 f'(1) 一點關係都沒有 ^^^^^ 這是原po再做的事 * Honor大的想法: bra bra bra.... (講的東西都對) f'(1+) 、 f'(1-) 跟原po講的東西關係可大了! 　* 我對 Honor大 所回的文章疑惑點: 原po 明明 明明 明明 明明 就是用 "帶入" 表示他在求 g'(1) H大怎 一直 一直 一直 一直 堅持說 原po再用逼近求 f'(1+) f'(1-) ? 阿 f'(1) 不是翻成: f'(x) 用 x=1 帶入 ? lim f'(x) 不是翻成: f'(x) 用 x去 逼近 x=1 點 ? x→1 請問原po到底在說哪個阿? 原po兩篇文章 　　　 哪裡有說用到逼近這個字眼? 若教學生 　　　 可以跟學生說: set f(x) = 1/x for x≠0 when x=0 , this mean f(0+) and f(0-) ???? 明顯不對吧! 要也是說成: when x=0 , f(0) is not defined ! 你自己去比對一下我上面所舉的那個例子 　　　 用極限去詮釋 很明顯跟原po問的一點關係也沒有 即使我舉的例子是 f'(0)=f'(0+)=f'(0-) 正解求 f'(0) , 您知道、我知道、獨眼龍也知道 　　　 但原po所求的東西 　　　 你確定是 導函數的極限值 嗎 ? 還是 導函數的值 ? 若你還是堅持原po再求 導函數的極限值 那我也無話可說了＝＝ --

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