※ 引述《Honor1984 (希望愿望成真)》之铭言： : 首先符号约定 : h(0):导数定义求得的值 h_2(0):g'(0) h(0+):f'(0+) h(x)=f'(x) : ^^^^^^ : ↑请注意符号 : 你在推文中质疑1.我没有点出<1>的h(0)和<2>的h_2(0)不同 : 2.f(0+),f(0-)跟他问的问题没有关系 : 我想分别厘清回答 : 1. : h(0)和h(0+),h(0-)不必要不一样 : i)可以有一样的情况 if f'(x)连续 h(0+) = f'(0) = h(0-) : ii)不一样的情况 if f'(x)不连续 也就是 h(0+)或h(0-) =/= f'(0) : 到此为止 跟g(0) g'(0)一点关系都没有 : f(x) = x^2*sin(1/x) x=/=0 : 0 x=0 : h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) x=/=0 : 0 x=0 : h(x->0) ~ xsin(1/x) - cos(x+1/x) : h(0+),h(0-) ~ -cos(x+1/x) 越接近0 h(x)於[-1,1]之间震荡越厉害 : lim h(x) not defined lim h(x) not defined : x->0- x->0+ : x > 0及x < 0从两边往x = 0逼近 永远到不了x = 0 : 但是因为f(0)定义了 = 0 f(x)被强迫约束并且到达到0 : 又-x^2 < f(x) < x^2 於x->0 振幅->0 f(x)=0之点於越靠近x=0之邻域有无限多点 : => f'(0) = 0 这就是为什麽lim h(x) not defined lim h(x) not defined : x->0- x->0+ : h(0+),h(0-)为何不等於h(0)的原因 : 从头到尾都不需要也碰不到h_2(0) : 你要我怎麽点出h_2(0)和h(0)是不一样的？ : h_2(0)和h(0)一不一样有那麽重要吗？ 一样跟不一样都不会影响任何结果啦! : 因为h(0)只会有一个值 或者根本没有值 但就是不会有两个值(指h_2(0)) : 2. : 设f(x) = x^2 * sin(1/x) for x=/= 0 : f'(x) = h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) for x=/=0 将x=0代入 发现不会是一个常数值 : 难道这就表示h_2(0)?? : 我前面已经说过2x*sin(1/x) - cos(1/x)根本跑不到x=0 : 就拿k(x) = 1/x for x=/=0 当例子 代x=0进去 发现发散 难道这就表示k(0)? ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 当然是指lim k(x)简写k(0+) 及lim k(x)简写k(0-) : x->0+ x->0- ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ?????? : 要不然为何要写for x=/=0? : 所以把x=0代入偶函数f'(x) = h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) for x=/=0 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 这个动作对f(x)代表的意义就是h(0+),h(0-) 绝不是h_2(0) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ?????? : 到此为止 跟g(0), g'(0)=h_2(0) 一点关系都没有 : 有关的只是h(0+),h(0-) : 所以我很纳闷f'(0+) f'(0-)怎麽会跟原po问的没有关系？ 关系太大了！ : 反倒是一直提g(0)g'(0)的问题 实际上根本就没有碰触到 : 哪来的g(0) g'(0)的问题? --- 你那几句话不觉得怪怪的吗＝＝ 终於知道你问题出在哪 原本还以为您讲的东西都对: k(x) = 1/x for x≠0 你说 x=0 带入，发现发散 　　请问如何得知为发散? 您所定义的函数 k(x) 当 x=0 , k(0) map 到哪个值域去 您有定义吗? 照你的逻辑 " 将x=0带入 k(x), 当然是指 k(0+) 及 k(0-) " 我有没有看错　＝＝ 　　原来中文的带入还可以因为函数定义域的不同 　　而修改成逼近 　　这麽人性化？ 举个例子: 假设 f(x) = (sinx)/x 请问 f(0) = ? 很明显 f(x) 在 x=0 没定义 所以 f(0) 是多少，不知道阿 我只知道 f(0+)=f(0-)=1 如此而已 但您怎能说 " 将x=0带入 f(x) , 当然是指 f(0+)=f(0-)=1 " ? ---------- 再回来看原po问的 我把他第二篇回的内容节录下来: ''''' 所以我就试试看把xsin(1/x)微分 再把0带下去 结果竟然不一样 其实不能微分再代0的 ''''' 并非我在玩文字游戏 　　 而是原 po 从一开始就用 "带入" 这个动作来表示 这用数学语言应该表示成 : f'(0) , 而非 lim f'(x) 吧 x→0 　　 就如您所说的 h_2(0) 这东西根本就没被定义 ( 就是我ㄧ开始po的 g'(0) ) 但是 但是 但是 原po他正是在尝试求 h_2(0) 阿＝＝　　（虽然是不可能求出来,因为没定义） 若原po所谓的　"带入" ,是用逼近的概念去求 lim f'(x) x→0 那我自己就无言了 因为变成是原po他自己错用动词 　　 但从一开始到现在 　　 我没看到原po有说　" 用 x→0 去求 f'(0) " 　　 所以 所以 所以 怎麽会跟 lim g'(x) or lim f'(x) 有关系呢? x→0 x→0 但你竟然把带入误用成趋近 OTZ... ( 对此case来说是 ) ------------------------------我是分隔线----------------------------------- 我举个简单的例子好了: f(x) = ┌ x^2 if x≠1 　　　　　 └ 1 if x=1 * 原po一开始的想法: lim f(x) = 1^2 = 1 x→1 所以 f(x) 在 x=1 连续　（好高兴︿︿） 那我就尝试把 x^2　对 x微分: f'(x) = 2x 带 x=1 进去 , 得 f'(1) = 2 若套导数的定义: x^2 - 1 f'(1) = lim _______ = 2 x→1 x - 1 两者会相等︿︿ 　　　　　　　 以後就这样做好了︿︿ * 我的想法: 首先原po用微分算出来的导数不叫 f'(0) 　 　　　　　　　　假设 f(x) = ┌ g(x) if x≠1 　　　　　　　　　　　　　　 └ 1 if x=1 for g(x)=x^2 则原po那样微分的意思是: g(x) - g(1) g'(1) = lim ___________ x→1 x - 1 请问 g'(1) 有被 defined 吗? 很明显没有 　　　　　　　　因为根本不知道 g(1) 是多少 那为何 g'(1) 那样带入会有值? 是因为 原本的 g'(x)=2x 只有限定 x≠1 的case 原po却把 x=1 的case也当成是 "有定义" 而拿下去算 这蕴含着原po承认 g(0)=0 (这部份的逻辑与证明我就省略不说了XD) 但若我定义 g(1) = 0 好了 　　　　　　　　这样 g'(1) 就会变成正负无穷大而发散 x^2 - 0 因为: g'(1) = lim _______ 发散 x→0 x - 1 所以 g'(1) 跟 f'(1) 一点关系都没有 ^^^^^ 这是原po再做的事 * Honor大的想法: bra bra bra.... (讲的东西都对) f'(1+) 、 f'(1-) 跟原po讲的东西关系可大了! 　* 我对 Honor大 所回的文章疑惑点: 原po 明明 明明 明明 明明 就是用 "带入" 表示他在求 g'(1) H大怎 一直 一直 一直 一直 坚持说 原po再用逼近求 f'(1+) f'(1-) ? 阿 f'(1) 不是翻成: f'(x) 用 x=1 带入 ? lim f'(x) 不是翻成: f'(x) 用 x去 逼近 x=1 点 ? x→1 请问原po到底在说哪个阿? 原po两篇文章 　　　 哪里有说用到逼近这个字眼? 若教学生 　　　 可以跟学生说: set f(x) = 1/x for x≠0 when x=0 , this mean f(0+) and f(0-) ???? 明显不对吧! 要也是说成: when x=0 , f(0) is not defined ! 你自己去比对一下我上面所举的那个例子 　　　 用极限去诠释 很明显跟原po问的一点关系也没有 即使我举的例子是 f'(0)=f'(0+)=f'(0-) 正解求 f'(0) , 您知道、我知道、独眼龙也知道 　　　 但原po所求的东西 　　　 你确定是 导函数的极限值 吗 ? 还是 导函数的值 ? 若你还是坚持原po再求 导函数的极限值 那我也无话可说了＝＝ --

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