首先符號約定 h(0):導數定義求得的值 h_2(0):g'(0) h(0+):f'(0+) h(x)=f'(x) ^^^^^^ ↑請注意符號 你在推文中質疑1.我沒有點出<1>的h(0)和<2>的h_2(0)不同 2.f(0+),f(0-)跟他問的問題沒有關係 我想分別釐清回答 1. h(0)和h(0+),h(0-)不必要不一樣 i)可以有一樣的情況 if f'(x)連續 h(0+) = f'(0) = h(0-) ii)不一樣的情況 if f'(x)不連續 也就是 h(0+)或h(0-) =/= f'(0) 到此為止 跟g(0) g'(0)一點關係都沒有 f(x) = x^2*sin(1/x) x=/=0 0 x=0 h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) x=/=0 0 x=0 h(x->0) ~ xsin(1/x) - cos(x+1/x) h(0+),h(0-) ~ -cos(x+1/x) 越接近0 h(x)於[-1,1]之間震盪越厲害 lim h(x) not defined lim h(x) not defined x->0- x->0+ x > 0及x < 0從兩邊往x = 0逼近 永遠到不了x = 0 但是因為f(0)定義了 = 0 f(x)被強迫約束並且到達到0 又-x^2 < f(x) < x^2 於x->0 振幅->0 f(x)=0之點於越靠近x=0之鄰域有無限多點 => f'(0) = 0 這就是為什麼lim h(x) not defined lim h(x) not defined x->0- x->0+ h(0+),h(0-)為何不等於h(0)的原因 從頭到尾都不需要也碰不到h_2(0) 你要我怎麼點出h_2(0)和h(0)是不一樣的？ h_2(0)和h(0)一不一樣有那麼重要嗎？ 一樣跟不一樣都不會影響任何結果啦! 因為h(0)只會有一個值 或者根本沒有值 但就是不會有兩個值(指h_2(0)) 2. 設f(x) = x^2 * sin(1/x) for x=/= 0 f'(x) = h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) for x=/=0 將x=0代入 發現不會是一個常數值 難道這就表示h_2(0)?? 我前面已經說過2x*sin(1/x) - cos(1/x)根本跑不到x=0 就拿k(x) = 1/x for x=/=0 當例子 代x=0進去 發現發散 難道這就表示k(0)? 當然是要分別討論lim k(x)簡寫k(0+) 及lim k(x)簡寫k(0-) x->0+ x->0- 要不然為何要寫for x=/=0? 所以把x=0代入偶函數f'(x) = h(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) for x=/=0 這個動作對f(x)代表的意義就是h(0+),h(0-) 絕不是h_2(0) [但是不能直接代x=0 要求x->0+ 與x->0-兩種部分] 到此為止 跟g(0), g'(0)=h_2(0) 一點關係都沒有 有關的只是h(0+),h(0-) 所以我很納悶f'(0+) f'(0-)怎麼會跟原po問的沒有關係？ 關係太大了！ 反倒是一直提g(0)g'(0)的問題 實際上根本就沒有碰觸到 哪來的g(0) g'(0)的問題? --

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