※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言： : f(x)=x^2sin(1/x) if x=\=0 : =0 if x=0 : 要求在0的導數 : 由定義 : f(x)-0 : lim -------------=lim xsin(1/x)=0 : x→0 x : 可是如果直接把x^2sin(1/x)微分 : 變成2xsin(1/x)-cos(1/x) : 代0下去就GG了 : 這個函數在零連續阿 由定義知道可以微分 : 為啥直接微分會算不出來? 首先 你所微分的函數不叫 f'(x) 假設 f(x) = ┌ g(x) if x≠0 　　　　　　　　 └ 0 if x=0 其中 g(x) = x^2sin(1/x) 你微出來的東西是 g'(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x) g'(x) 在 x=0 下有定義嗎? 很明顯沒有 g(x) - g(0) 　　因為 g'(0) = lim ___________ x→0 x - 0 請問 g(0)=? 根本不知道吧 　　因為前面的假設根本沒定義 g(x) 在 x=0 下的值為何 　　因此 　g'(x) 只能在 x≠0　下討論 也就是: f'(x) = ┌ g'(x) if x≠0 　　　　 　　 └ f'(0) if x=0 既然如此 　　你去討論 g'(0) 有意義嗎? 即使你自己定義 g(0) 的值為何 　　最後變成 g'(x) 對所有 x屬於R 都能討論 但是 g'(0) 跟 f'(0) 還是一點關係都沒有 不要混為一談 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151 g'(0) = 1 ? 請問您怎算的? 且 g'(0) 是多少不重要 　　　　　 但還是可以算 f'(0) f(x) - f(0)　 　g(x) - 0 　　　 　　因為 f'(0) = lim ___________　 =　 lim ________ x→0 x - 0　　　　 x→0　 x - 0 注意到我用顏色區別 　　　　　 極限的意義是 　　　　　 它只考慮 x=0 的 "鄰域" 　　　　　 而不會直接考慮 x=0 本身 　　　　　 所以 f(x) = g(x) 是因為 x≠0 所致 而 f(0)=0 則是套題目假設的 f(0)=0 if x=0 　　　　　 我這兩個條件就足夠算出 f'(0) 　　　　　 請問跟 g(0) 是多少有任何關係嗎? ^^^^^^^^^^^^^ 直觀上 0乘上一個有限數還是0 但遇到分母有出現 0 的case 數學家還是選擇避開它不談 　　　　　　 即使結論再怎麼的直觀 此提的 f(x) 只需要 g(x) x≠0 值域 所以我可以不用去 define g(0) 是多少 我也能 define g(0) = 100 or 1000 or ... 但有影響到 f'(x) 的整個值域嗎 ? 那是因為你從小到高中所接觸的函數 　　　　 大多數是 continuous and smooth for all domain (少部份如 f(x) = |x| 等) 到大學開始慢慢接觸 piecewise conti. or smooth 會覺得怪怪 蠻正常的 　　　 　( 此題的 f(x) 是 piecewise smooth ) 習慣一下那種寫法吧 OTZ 函數是可以自己定義的 　　　　 而非 指數函數、多項式函數、三角函數 (or 合成，反函數)　才能叫函數XD 只要定義域的每個 element 你都能明確 define 它會 map 到哪個值域 這就形成一個函數對應了 ^^^^^^^^ 理由同上... ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (10/10 13:36) 請問美國教的微積分 g(0)=0 跟我自己假設的 g(x)=x^2sin(1/x) if x≠0 有啥關係... 　 若照你這樣說 　　　　 美國學生看到這題不就跟 原po 一樣都有以下的疑問: " 題目一開始給f(x)=0 ifx=0感覺很多餘? " 那題目就直接改成 f(x)=x^2sin(1/x) for all x屬於R 就好了 為何還要特地分 case 討論? ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (10/11 02:05)