※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之铭言： : f(x)=x^2sin(1/x) if x=\=0 : =0 if x=0 : 要求在0的导数 : 由定义 : f(x)-0 : lim -------------=lim xsin(1/x)=0 : x→0 x : 可是如果直接把x^2sin(1/x)微分 : 变成2xsin(1/x)-cos(1/x) : 代0下去就GG了 : 这个函数在零连续阿 由定义知道可以微分 : 为啥直接微分会算不出来? 首先 你所微分的函数不叫 f'(x) 假设 f(x) = ┌ g(x) if x≠0 　　　　　　　　 └ 0 if x=0 其中 g(x) = x^2sin(1/x) 你微出来的东西是 g'(x) = 2xsin(1/x) - cos(1/x) g'(x) 在 x=0 下有定义吗? 很明显没有 g(x) - g(0) 　　因为 g'(0) = lim ___________ x→0 x - 0 请问 g(0)=? 根本不知道吧 　　因为前面的假设根本没定义 g(x) 在 x=0 下的值为何 　　因此 　g'(x) 只能在 x≠0　下讨论 也就是: f'(x) = ┌ g'(x) if x≠0 　　　　 　　 └ f'(0) if x=0 既然如此 　　你去讨论 g'(0) 有意义吗? 即使你自己定义 g(0) 的值为何 　　最後变成 g'(x) 对所有 x属於R 都能讨论 但是 g'(0) 跟 f'(0) 还是一点关系都没有 不要混为一谈 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151 g'(0) = 1 ? 请问您怎算的? 且 g'(0) 是多少不重要 　　　　　 但还是可以算 f'(0) f(x) - f(0)　 　g(x) - 0 　　　 　　因为 f'(0) = lim ___________　 =　 lim ________ x→0 x - 0　　　　 x→0　 x - 0 注意到我用颜色区别 　　　　　 极限的意义是 　　　　　 它只考虑 x=0 的 "邻域" 　　　　　 而不会直接考虑 x=0 本身 　　　　　 所以 f(x) = g(x) 是因为 x≠0 所致 而 f(0)=0 则是套题目假设的 f(0)=0 if x=0 　　　　　 我这两个条件就足够算出 f'(0) 　　　　　 请问跟 g(0) 是多少有任何关系吗? ^^^^^^^^^^^^^ 直观上 0乘上一个有限数还是0 但遇到分母有出现 0 的case 数学家还是选择避开它不谈 　　　　　　 即使结论再怎麽的直观 此提的 f(x) 只需要 g(x) x≠0 值域 所以我可以不用去 define g(0) 是多少 我也能 define g(0) = 100 or 1000 or ... 但有影响到 f'(x) 的整个值域吗 ? 那是因为你从小到高中所接触的函数 　　　　 大多数是 continuous and smooth for all domain (少部份如 f(x) = |x| 等) 到大学开始慢慢接触 piecewise conti. or smooth 会觉得怪怪 蛮正常的 　　　 　( 此题的 f(x) 是 piecewise smooth ) 习惯一下那种写法吧 OTZ 函数是可以自己定义的 　　　　 而非 指数函数、多项式函数、三角函数 (or 合成，反函数)　才能叫函数XD 只要定义域的每个 element 你都能明确 define 它会 map 到哪个值域 这就形成一个函数对应了 ^^^^^^^^ 理由同上... ※ 编辑: doom8199 来自: 140.113.141.151 (10/10 13:36) 请问美国教的微积分 g(0)=0 跟我自己假设的 g(x)=x^2sin(1/x) if x≠0 有啥关系... 　 若照你这样说 　　　　 美国学生看到这题不就跟 原po 一样都有以下的疑问: " 题目一开始给f(x)=0 ifx=0感觉很多余? " 那题目就直接改成 f(x)=x^2sin(1/x) for all x属於R 就好了 为何还要特地分 case 讨论? ※ 编辑: doom8199 来自: 140.113.141.151 (10/11 02:05)