※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言： : 要証明f(x)=x^2 : limf(x)=1 : x→1 : 我的作法 : │x^2-1│=│x+1││x-1│<│x+1│(暫定│x-1│<1=δ) : <=│x-1│+2<δ+2=ε ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 這一行 我怎麼看怎麼怪 : 取δ=ε-2 : 所以當│x-1│<δ : │x^2-1│=│x+1││x-1│<│x+1│<δ+2=ε : 得證 : 這樣作對嗎? 老師怎麼說ε要先給定再找δ : 我這樣寫不是也等於先給定ε=2+δ了嗎? : 蔣正明的書都這樣寫 結果今天去問老師說不行@@ 目標 for all ε>0 ,it exists δ>0 ,s.t |x^2-1|<.....<ε if |x-1|<δ 觀察 |x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < |x+1|δ (因為是在|x-1|<δ底下做) 但是|x+1|不是一個定值 所以不能直接接著寫 |x+1|δ<ε 取δ=ε/|x+1| 但是極限只是觀察x在1附近的性質， 所以我們可以先設定 |x-1| < 1 .....(1) 此時 0 < x < 2 所以 |x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < 2*δ=ε (所以取δ=ε/2) 假如|x-1|<δ 但是這邊的δ不能只取ε/2 回去看(1)式 他限制 |x-1| < 1 了 所以萬一ε/2超過了1(因為ε是任意給的 不能排除這樣的可能) 這樣我們證明中運用了 x < 2 這件事情 就不會成立了 所以我們取δ=min{1,ε/2} 以上全部都是想法，最後證明的論述寫下面的東西就好了 for all ε>0 , it exists δ = min{1,ε/2} s.t. |x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < 2*δ=ε (∵|x-1| < 1 => 0 < x < 2) if |x-1| < δ --

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