※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之铭言： : 要证明f(x)=x^2 : limf(x)=1 : x→1 : 我的作法 : │x^2-1│=│x+1││x-1│<│x+1│(暂定│x-1│<1=δ) : <=│x-1│+2<δ+2=ε ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 这一行 我怎麽看怎麽怪 : 取δ=ε-2 : 所以当│x-1│<δ : │x^2-1│=│x+1││x-1│<│x+1│<δ+2=ε : 得证 : 这样作对吗? 老师怎麽说ε要先给定再找δ : 我这样写不是也等於先给定ε=2+δ了吗? : 蒋正明的书都这样写 结果今天去问老师说不行@@ 目标 for all ε>0 ,it exists δ>0 ,s.t |x^2-1|<.....<ε if |x-1|<δ 观察 |x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < |x+1|δ (因为是在|x-1|<δ底下做) 但是|x+1|不是一个定值 所以不能直接接着写 |x+1|δ<ε 取δ=ε/|x+1| 但是极限只是观察x在1附近的性质， 所以我们可以先设定 |x-1| < 1 .....(1) 此时 0 < x < 2 所以 |x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < 2*δ=ε (所以取δ=ε/2) 假如|x-1|<δ 但是这边的δ不能只取ε/2 回去看(1)式 他限制 |x-1| < 1 了 所以万一ε/2超过了1(因为ε是任意给的 不能排除这样的可能) 这样我们证明中运用了 x < 2 这件事情 就不会成立了 所以我们取δ=min{1,ε/2} 以上全部都是想法，最後证明的论述写下面的东西就好了 for all ε>0 , it exists δ = min{1,ε/2} s.t. |x^2 - 1| = |x+1|*|x-1| < 2*δ=ε (∵|x-1| < 1 => 0 < x < 2) if |x-1| < δ --

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