※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言： : ※ 引述《Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)》之銘言： 如果很有潔癖一定要化成單一arcsin 4 π 1 結果 = --- [----- - 2 arcsin[--------------]] d 2 √[2(k^2 + 1)] 4 1 = --- arsins[cos[2 arcsin[--------------]]] d √[2(k^2 + 1)] 到這一步必然知道最後一定可以化掉根號 4 1+2k^2 1 = --- arcsin[-------------- - --------------] d 2(k^2 + 1) 2(k^2 + 1) 4 k^2 = --- arcsin ------------ d k^2 + 1 4 a^2 = --- arcsin ---------- d 4d^2 + a^2 : 這題寫成極座標就是有它的好處 : 容易積分 : π/4 dθ : ∫ ------------------------ : 0 √[k^2 (secθ)^2 + 1)] : π/4 cosθ dθ : =∫ ------------------------ : 0 √[k^2 + cos^2(θ)] : π/4 dsinθ : =∫ ------------------------ : 0 √[k^2 + 1 - sin^2(θ)] : π/4 dsinθ/√(k^2 + 1) : =∫ ------------------------ : 0 √[1 - sin^2(θ)/(k^2 + 1)] : 1 : = arcsin[----------------] : √[2(k^2 + 1)] : : 也許(0)式有更簡單的型式可以不用碰到上面的困難， : : 不過只要會積t大文章中前兩式的積分此題就會迎刃而解。 : : 可以去試試看t大的兩個積分會不會只用到三角代換XD : : 我的過程在 1-(a/2d)^2 < 0、1-(a/2d)^2 = 0和 1-(a/2d)^2 > 0均成立 : : 給mathematica跑的數值積分其值也跟我的公式直接代數字結果相同 : : 若代入 r = 0～(a/2)tanθ 反而不同，要代入 r = 0～(a/2)secθ 才對 --

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