※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言： : ※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言： : : a/2 a/2 : : ∫ ∫ (x^2+y^2+d^2)^(-3/2)dxdy : : -a/2 -a/2 : : a.d都是常數 請問要怎麼積 我只想到三角代換 : : 可是又做不出來@@ : 如果真的出了這一題 : 應該就是真的要叫你積出來 : midarmyman考前背答案還是會得0分! : π/4 atanθ*1/2 : 原式 = 8∫ ∫ (r^2 + d^2)^(-3/2)rdrdθ : 0 0 π/4 asecθ*1/2 原式 = 8∫ ∫ (r^2 + d^2)^(-3/2)rdrdθ 0 0 : π/4 1 1 : = 8∫ [--- - ----------------------]dθ : 0 d √[(atanθ)^2/4 + 1)] π/4 1 1 = 8∫ [--- - -------------------------]dθ 0 d d√[(asecθ)^2/4d^2 + 1)] : 2π π/4 dθ : = --- - 8 ∫ -------------------- : d 0 √[(atanθ)^2/4d^2 + 1)] 2π 8 π/4 dθ = --- - - ∫ -------------------------- d d 0 √[(a/2d)^2(secθ)^2 + 1)] (0) π/4 dθ ∫ ------------------------ ( where k = a/2d ) 0 √[k^2 (secθ)^2 + 1)] -1 √2 Sinθ Tan [-------------------------] √[1 + 2 k^2 + Cos(2θ)] Secθ │θ= π/4 √[1 + 2 k^2 + Cos(2θ)] │ = -----------------------------------------------------------------│ √[2 + 2 k^2 (Secθ)^2 ] │θ= 0 -1 1 -1 = Tan [ ------------- ] = Cot [ √(1 + 2 k^2) ] ( By mathematica ) √(1 + 2 k^2) (1) (2) a/2 a/2 ∫ ∫ (x^2+y^2+d^2)^(-3/2)dxdy -a/2 -a/2 (1) 2π 8 -1 1 = --- - - Tan [ ------------------ ] d d √[1 + 2 (a/2d)^2] 4 π -1 1 = - { --- - 2 Tan [ ------------------ ] } d 2 √[1 + 2 (a/2d)^2] 4 π -1 2d/a = - { --- - 2 Tan [ ----------------- ] } (A) d 2 √[2 + (2d/a)^2] 4 π -1 = - { --- - Tan [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ] } (B) d 2 4 -1 = - Cot [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ] d 4 -1 = - Cot [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ] d 4 -1 2d √(2a^2+4d^2) = - Cot [ ---------------- ] d a^2 4 -1 a^2 = - Sin [ ---------- ] d a^2 + 4d^2 (2) 2π 8 -1 = --- - - Cot [ √[1 + 2 (a/2d)^2] ] d d 4 π -1 = - { --- - 2 Cot [ √[1 + 2 (a/2d)^2] ] } d 2 4 π -1 = - { --- - 2 Cot [(a/2d) √[2 + (2d/a)^2] ] } (C) d 2 4 π -1 a/2d = - { --- - Cot [ ---------------- ] } (D) d 2 √[2 + (2d/a)^2] 4 -1 a/2d = - Tan [ ---------------- ] d √[2 + (2d/a)^2] 4 -1 a^2 = - Tan [ ----------------- ] d 2d√(2a^2 + 4d^2) 4 -1 a^2 = - Sin [ ---------- ] d a^2 + 4d^2 與 t86xu3 大的結果一樣 用極座標的方法會碰到如(0)式的積分， 還要解釋(A)式=(B)式或(C)式=(D)式相等的困難， 也許(0)式有更簡單的型式可以不用碰到上面的困難， 不過只要會積t大文章中前兩式的積分此題就會迎刃而解。 : 後面這個積分已經有人幫你問過了 : 可以完全只用三角函數沒有問題 可以去試試看t大的兩個積分會不會只用到三角代換XD : 但是(a/2d)^2-1是正,負或等於0都會影響積出來的結果 : 所以Frobenius可能也要檢查一下積分過程中是不是有些條件沒有討論到 我的過程在 1-(a/2d)^2 < 0、1-(a/2d)^2 = 0和 1-(a/2d)^2 > 0均成立 給mathematica跑的數值積分其值也跟我的公式直接代數字結果相同 若代入 r = 0～(a/2)tanθ 反而不同，要代入 r = 0～(a/2)secθ 才對 : 另外建議midarmyman把這重積分調換順序 : 看看自己會不會寫上下限 : 這是練習的機會 --

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