※ 引述《Honor1984 (希望愿望成真)》之铭言： : ※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之铭言： : : a/2 a/2 : : ∫ ∫ (x^2+y^2+d^2)^(-3/2)dxdy : : -a/2 -a/2 : : a.d都是常数 请问要怎麽积 我只想到三角代换 : : 可是又做不出来@@ : 如果真的出了这一题 : 应该就是真的要叫你积出来 : midarmyman考前背答案还是会得0分! : π/4 atanθ*1/2 : 原式 = 8∫ ∫ (r^2 + d^2)^(-3/2)rdrdθ : 0 0 π/4 asecθ*1/2 原式 = 8∫ ∫ (r^2 + d^2)^(-3/2)rdrdθ 0 0 : π/4 1 1 : = 8∫ [--- - ----------------------]dθ : 0 d √[(atanθ)^2/4 + 1)] π/4 1 1 = 8∫ [--- - -------------------------]dθ 0 d d√[(asecθ)^2/4d^2 + 1)] : 2π π/4 dθ : = --- - 8 ∫ -------------------- : d 0 √[(atanθ)^2/4d^2 + 1)] 2π 8 π/4 dθ = --- - - ∫ -------------------------- d d 0 √[(a/2d)^2(secθ)^2 + 1)] (0) π/4 dθ ∫ ------------------------ ( where k = a/2d ) 0 √[k^2 (secθ)^2 + 1)] -1 √2 Sinθ Tan [-------------------------] √[1 + 2 k^2 + Cos(2θ)] Secθ │θ= π/4 √[1 + 2 k^2 + Cos(2θ)] │ = -----------------------------------------------------------------│ √[2 + 2 k^2 (Secθ)^2 ] │θ= 0 -1 1 -1 = Tan [ ------------- ] = Cot [ √(1 + 2 k^2) ] ( By mathematica ) √(1 + 2 k^2) (1) (2) a/2 a/2 ∫ ∫ (x^2+y^2+d^2)^(-3/2)dxdy -a/2 -a/2 (1) 2π 8 -1 1 = --- - - Tan [ ------------------ ] d d √[1 + 2 (a/2d)^2] 4 π -1 1 = - { --- - 2 Tan [ ------------------ ] } d 2 √[1 + 2 (a/2d)^2] 4 π -1 2d/a = - { --- - 2 Tan [ ----------------- ] } (A) d 2 √[2 + (2d/a)^2] 4 π -1 = - { --- - Tan [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ] } (B) d 2 4 -1 = - Cot [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ] d 4 -1 = - Cot [ (2d/a) √[2 + (2d/a)^2] ] d 4 -1 2d √(2a^2+4d^2) = - Cot [ ---------------- ] d a^2 4 -1 a^2 = - Sin [ ---------- ] d a^2 + 4d^2 (2) 2π 8 -1 = --- - - Cot [ √[1 + 2 (a/2d)^2] ] d d 4 π -1 = - { --- - 2 Cot [ √[1 + 2 (a/2d)^2] ] } d 2 4 π -1 = - { --- - 2 Cot [(a/2d) √[2 + (2d/a)^2] ] } (C) d 2 4 π -1 a/2d = - { --- - Cot [ ---------------- ] } (D) d 2 √[2 + (2d/a)^2] 4 -1 a/2d = - Tan [ ---------------- ] d √[2 + (2d/a)^2] 4 -1 a^2 = - Tan [ ----------------- ] d 2d√(2a^2 + 4d^2) 4 -1 a^2 = - Sin [ ---------- ] d a^2 + 4d^2 与 t86xu3 大的结果一样 用极座标的方法会碰到如(0)式的积分， 还要解释(A)式=(B)式或(C)式=(D)式相等的困难， 也许(0)式有更简单的型式可以不用碰到上面的困难， 不过只要会积t大文章中前两式的积分此题就会迎刃而解。 : 後面这个积分已经有人帮你问过了 : 可以完全只用三角函数没有问题 可以去试试看t大的两个积分会不会只用到三角代换XD : 但是(a/2d)^2-1是正,负或等於0都会影响积出来的结果 : 所以Frobenius可能也要检查一下积分过程中是不是有些条件没有讨论到 我的过程在 1-(a/2d)^2 < 0、1-(a/2d)^2 = 0和 1-(a/2d)^2 > 0均成立 给mathematica跑的数值积分其值也跟我的公式直接代数字结果相同 若代入 r = 0～(a/2)tanθ 反而不同，要代入 r = 0～(a/2)secθ 才对 : 另外建议midarmyman把这重积分调换顺序 : 看看自己会不会写上下限 : 这是练习的机会 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 114.43.241.200 ※ 编辑: Frobenius 来自: 114.43.241.200 (08/24 12:52)