※ 引述《chemical1223 (康康康康康康)》之銘言： : xy : -------- if (x,y) != (0,0) : x^2+y^2 : f(x,y)= : 0 if (x,y) = (0,0) : show that f (0,0) exists and : x : show that f is not differentiable at (0,0) : 第二題我知道要用微分存在的條件下去證明，可是第一題我就不太清楚該怎麼證明了 : 是只要證明出f在(0,0)極限不存在就可以了嗎？還是接著還有別的步驟？ : xy : lim --------- : (x,y)->(0,0) x^2+y^2 : 1. 令y=mx : mx^2 : 2. 原式 = lim ----------- : (x,y)->(0,0) x^2+(mx)^2 : m m : = lim ----------- = ---------- : (x,y)->(0,0) 1+m^2 1+m^2 : 3. 極限值與路徑有關，因為m非唯一，故極限值不存在 => f (0,0)存在 : x : 還是說直接用定義求其極限值即可？ : 謝謝大家 你的作法只是說明了此函數 f(x,y) 在原點不連續。因此，這函數在原點一定不可微。 至於偏導數則非如此，偏導數的定義是這樣子的： f_x (0,0) ＝ lim {f(x,0) - f(0,0)}/x. x→0 因為 f(x,0) ＝ 0 for all x. 所以上述極限為 0. 也就是說 f_x (0,0) ＝ 0. NOTE. 根據對稱性 (即此處指 x 與 y 角色對調)，同理可知 f_y (0,0) 也是 0. 這題目告訴我們：所有偏導數於一點之存在並不足以保證此函數於此點可微! -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. --

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