※ 引述《chemical1223 (康康康康康康)》之铭言： : xy : -------- if (x,y) != (0,0) : x^2+y^2 : f(x,y)= : 0 if (x,y) = (0,0) : show that f (0,0) exists and : x : show that f is not differentiable at (0,0) : 第二题我知道要用微分存在的条件下去证明，可是第一题我就不太清楚该怎麽证明了 : 是只要证明出f在(0,0)极限不存在就可以了吗？还是接着还有别的步骤？ : xy : lim --------- : (x,y)->(0,0) x^2+y^2 : 1. 令y=mx : mx^2 : 2. 原式 = lim ----------- : (x,y)->(0,0) x^2+(mx)^2 : m m : = lim ----------- = ---------- : (x,y)->(0,0) 1+m^2 1+m^2 : 3. 极限值与路径有关，因为m非唯一，故极限值不存在 => f (0,0)存在 : x : 还是说直接用定义求其极限值即可？ : 谢谢大家 你的作法只是说明了此函数 f(x,y) 在原点不连续。因此，这函数在原点一定不可微。 至於偏导数则非如此，偏导数的定义是这样子的： f_x (0,0) ＝ lim {f(x,0) - f(0,0)}/x. x→0 因为 f(x,0) ＝ 0 for all x. 所以上述极限为 0. 也就是说 f_x (0,0) ＝ 0. NOTE. 根据对称性 (即此处指 x 与 y 角色对调)，同理可知 f_y (0,0) 也是 0. 这题目告诉我们：所有偏导数於一点之存在并不足以保证此函数於此点可微! -- Good taste, bad taste are fine, but you can't have no taste. --

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