※ 引述《arbitrager (自由之身)》之銘言： : ※ 引述《Arcarco ()》之銘言： : : (1+x)^(1/x) - e : : lim ------------------- : : x->0 x : : 求極限，答案是 (-1/2)e : : 謝謝 : 羅比達應該也可以 是不是微三次 我等等試看看 : <果然是微分三次XD> : 我直覺想到的方法是: : 你定義一個新的分段定義函數: 令F(x) = (1+x)^(1/x) , 當x不等於 0 : F(x) = e , 當x 等於 0 : 如此定義 你也可以證出 F(x) 在 x=0處連續 [ lim F(x) = F(0) ] : x-->0 : 原極限 = lim F(x) - F(0) r: x-->0 ----------- = F'(0) (微分的最初定義) : x - 0 : 所以微一次就可以了 (結果還是要用羅比達XD) : F(x) = (1+x)^(1/x) : 令y = F(x) = (1+x)/(1/x) : 則lny = (1/x) ln (1+x) - (*) : (*) 兩邊對x微分 得到 : 1/y dy/dx = (1/x)(1/1+x) + ln(1+x)(-1/x^2) : dy/dx = (1+x)^(1/x) [ (1/x)(1/1+x) -(1/x^2)ln(1+x)] : x-(1+x)ln(1+x) : F'(0) = dy/dx|x=0 = e [ lim ---------------- ] : x-->0 x^2 (1+x) : = -e/2 計算的部份我沒意見 不過 , 你求這個極限時是用 F'(x)當x->0的極限值(原本要求 F'(0)) 這樣除非 F 是 C1 (continuously differentiable) 函數 , 不然不保證對吧 ? 有錯請指教 : x-(1+x)ln(1+x) : 其中 lim ------------------- = -1/2 計算如下 : x-->0 x^2(1+x) : (L'H) 1-[1+ln(1+x)] : = lim -------------------- : x-->0 3x^2 + 2x : (L'H) -(1/1+x) : = lim ------------------ : x-->0 6x + 2 : = -1/2 --

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