※ 引述《arbitrager (自由之身)》之铭言： : ※ 引述《Arcarco ()》之铭言： : : (1+x)^(1/x) - e : : lim ------------------- : : x->0 x : : 求极限，答案是 (-1/2)e : : 谢谢 : 罗比达应该也可以 是不是微三次 我等等试看看 : <果然是微分三次XD> : 我直觉想到的方法是: : 你定义一个新的分段定义函数: 令F(x) = (1+x)^(1/x) , 当x不等於 0 : F(x) = e , 当x 等於 0 : 如此定义 你也可以证出 F(x) 在 x=0处连续 [ lim F(x) = F(0) ] : x-->0 : 原极限 = lim F(x) - F(0) r: x-->0 ----------- = F'(0) (微分的最初定义) : x - 0 : 所以微一次就可以了 (结果还是要用罗比达XD) : F(x) = (1+x)^(1/x) : 令y = F(x) = (1+x)/(1/x) : 则lny = (1/x) ln (1+x) - (*) : (*) 两边对x微分 得到 : 1/y dy/dx = (1/x)(1/1+x) + ln(1+x)(-1/x^2) : dy/dx = (1+x)^(1/x) [ (1/x)(1/1+x) -(1/x^2)ln(1+x)] : x-(1+x)ln(1+x) : F'(0) = dy/dx|x=0 = e [ lim ---------------- ] : x-->0 x^2 (1+x) : = -e/2 计算的部份我没意见 不过 , 你求这个极限时是用 F'(x)当x->0的极限值(原本要求 F'(0)) 这样除非 F 是 C1 (continuously differentiable) 函数 , 不然不保证对吧 ? 有错请指教 : x-(1+x)ln(1+x) : 其中 lim ------------------- = -1/2 计算如下 : x-->0 x^2(1+x) : (L'H) 1-[1+ln(1+x)] : = lim -------------------- : x-->0 3x^2 + 2x : (L'H) -(1/1+x) : = lim ------------------ : x-->0 6x + 2 : = -1/2 --

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